Suponha que f seja uma função derivável e que 6 <= f^prime(x) <= 10, forall x. Mostre que
18 <= f(4)-f(1) <= 30

Passo 1

O enunciado diz que f é diferenciável e que sua derivada satisfaz
6 <= f'(x) <= 10, forall x
Queremos, portanto, estimar a diferença f(4)-f(1). Como temos informação sobre f', o Teorema do Valor Médio é a ferramenta natural para relacionar f(4)-f(1) com algum valor de f'.

Passo 2

Pelo Teorema do Valor Médio, existe cin(1,4) tal que
f(4)-f(1)=f'(c),(4-1)

Passo 3

Como sabemos que 6<= f'(c)<=10, multiplicando pela distância 4-1 obtemos
6cdot(4-1);<=;f(4)-f(1);<=;10cdot(4-1)

Passo 4

Como 4-1=3, segue
18<= f(4)-f(1)<= 30

Resposta

18 <= f(4)-f(1) <= 30

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