Suponha que
seja uma função derivável e que
. Mostre que
Passo 1
O enunciado diz que
é diferenciável e que sua derivada satisfaz
Queremos, portanto, estimar a diferença
. Como temos informação sobre
, o Teorema do Valor Médio é a ferramenta natural para relacionar
com algum valor de
.
Passo 2
Pelo Teorema do Valor Médio, existe
tal que
Passo 3
Como sabemos que
, multiplicando pela distância
obtemos
Passo 4
Como
, segue