O máximo de dois números x e y denota-se por máx (x, y). Deste modo, máx (-1,3)= máx (3,3)=3 e máx (-1,-4)=máx(-4,-1)=-1. O mínimo de x e y denota por mín (x, y)… Prove que se
|x-x0|<varepsilon2 e |y-y0|<varepsilon2,
então
|(x+y)-(x0+y0)| & <varepsilon, |(x-y)-(x0-y0)| & <varepsilon

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos dois números, x e y , e sabemos que eles estão próximos de x0 e y0 respectivamente, com uma distância menor que varepsilon2 . Queremos provar que a soma (x + y) e a diferença (x - y) também estão próximas de (x0 + y0) e (x0 - y0) , com uma distância menor que varepsilon . Para isso, vamos usar propriedades das desigualdades e dos valores absolutos.

Passo 2

Vamos começar analisando a soma (x + y) . Queremos encontrar a diferença entre (x + y) e (x0 + y0) :
| (x + y) - (x0 + y0) |
Essa expressão pode ser simplificada agrupando os termos:
| (x - x0) + (y - y0) |

Passo 3

Agora, vamos usar a propriedade do valor absoluto que diz que:
|a + b| <= |a| + |b|
Aplicando isso à nossa expressão:
| (x - x0) + (y - y0) | <= |x - x0| + |y - y0|

Passo 4

Sabemos, pelo enunciado, que:
|x - x0| < varepsilon2 e |y - y0| < varepsilon2
Substituindo essas desigualdades na expressão anterior:
|x - x0| + |y - y0| < varepsilon2 + varepsilon2 = varepsilon
Portanto:
| (x + y) - (x0 + y0) | < varepsilon

Passo 5

Agora, vamos analisar a diferença (x - y) . Queremos encontrar a diferença entre (x - y) e (x0 - y0) :
| (x - y) - (x0 - y0) |
Simplificando os termos:
| (x - x0) - (y - y0) |

Passo 6

Usamos novamente a propriedade do valor absoluto:
|a - b| <= |a| + |b|
Aplicando isso à nossa expressão:
| (x - x0) - (y - y0) | <= |x - x0| + |y - y0|

Passo 7

Como já sabemos que:
|x - x0| + |y - y0| < varepsilon
Então:
| (x - y) - (x0 - y0) | < varepsilon

Resposta

Concluímos que, se |x - x0| < varepsilon2 e |y - y0| < varepsilon2 , então:
|(x + y) - (x0 + y0)| < varepsilon e |(x - y) - (x0 - y0)| < varepsilon

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