Suponha que (1,1) seja um ponto crítico de f com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre (1,1)
f_{x x}(1,1)=-1, f_{x y}(1,1)=2 e f_{y y}(1,1)=-8

Passo 1

O enunciado diz que (1,1) é ponto crítico de f e que as derivadas de segunda ordem são contínuas. Os valores no ponto são
f_{xx}(1,1) = -1,\quad f_{xy}(1,1) = 2,\quad f_{yy}(1,1) = -8.
Vamos usar o teste do discriminante da Hessiana para classificar o ponto crítico.

Passo 2

O discriminante D da matriz Hessiana em (1,1) é dado por
D = f_{xx}(1,1)\,f_{yy}(1,1) - \bigl[f_{xy}(1,1)\bigr]^2.
Substituindo os valores:
D = (-1)\cdot(-8) - (2)^2 = 8 - 4 = 4.

Passo 3

Como D>0, a Hessiana é definida (ou seja, não é degenerada). Além disso, temos f_{xx}(1,1) = -1<0. Pelo teste de segunda derivada, isso implica que (1,1) é ponto de máximo local estrito de f.

Resposta

(1,1) é um ponto de máximo local estrito de f.

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