Suponha que (1,1) seja um ponto crítico de f com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre (1,1)
f_{x x}(1,1)=-1, f_{x y}(1,1)=6 e f_{y y}(1,1)=1.

Passo 1

O enunciado diz que (1,1) é ponto crítico de f e que as segundas derivadas em (1,1) são
f_{xx}(1,1)=-1,\quad f_{xy}(1,1)=6,\quad f_{yy}(1,1)=1.
Queremos usar o teste da segunda derivada (Hessiana) para classificar esse ponto crítico.

Passo 2

A matriz Hessiana em (1,1) é
H = \begin{pmatrix} f_{xx}(1,1) & f_{xy}(1,1) \\[6pt] f_{xy}(1,1) & f_{yy}(1,1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 6 \\[3pt] 6 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante dessa matriz é
D = f_{xx}(1,1)\,f_{yy}(1,1) - \bigl(f_{xy}(1,1)\bigr)^2 = (-1)\cdot 1 - 6^2 = -1 - 36 = -37.
Como D<0, a Hessiana é indefinida e o ponto crítico é um ponto de sela.]

Resposta

O ponto (1,1) é um ponto de sela.

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