Determine os pontos de máximos e mínimos locais e os pontos de sela das funções abaixo:
f(x, y)=9-2 x+4 x-x^2-4 y^2

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos da função
f(x,y)=9-2x+4x - x^2 - 4y^2
e classificar cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso vamos usar cálculo de derivadas parciais, encontrar o ponto crítico e depois aplicar o teste da matriz Hessiana.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial fpartial x = -2x + 2, partial fpartial y = -8y
Logo, das equações
-2x + 2 = 0, -8y = 0
vem o único ponto crítico
(x,y)=(1,0)

Passo 3

Agora obtemos as segundas derivadas para montar a Hessiana:
fxx = -2, fyy = -8, fxy = 0
O determinante da Hessiana é
D = fxxfyy - (fxy)^2 = (-2)cdot(-8) - 0 = 16 > 0
Como D>0 e fxx=-2<0, o ponto crítico é um máximo local.

Resposta

A função tem apenas um ponto crítico, em (1,0), que é um máximo local. Não existem mínimos locais nem pontos de sela.

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