Encontrar os limites das funções abaixo, para (x, y) tendendo a (0,0). f(x, y) = (x + y) / raiz(y^2 + x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o limite da função quando se aproxima de . Isso está ligado ao estudo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta quando nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o limite de uma função de duas variáveis. O limite existe se, independente do caminho que a gente escolha para se aproximar de , a função sempre se aproxima do mesmo valor.

Passo 3

Vamos começar calculando o limite ao longo de alguns caminhos específicos:
Caminho 1:
Então, ao se aproximar de pelo eixo , o limite depende do lado de onde nos aproximamos:
Caminho 2:
Da mesma forma, ao se aproximar pelo eixo , o limite também depende da direção:

Passo 4

Caminho 3:
Aqui, dependendo de , o limite será:

Passo 5

Observando os três caminhos que a gente analisou, percebemos que o limite da função ao se aproximar de não é o mesmo em todos eles. No primeiro e segundo caminho, os limites podem ser ou , e no terceiro caminho, eles são ou .

Resposta

Como os limites variam dependendo do caminho escolhido para se aproximar de , o limite da função quando tende a não existe.

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