Determine os pontos onde existe a derivada de
. Escolha um ponto e calcule o valor da derivada no ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir em quais pontos a função
tem derivada. Isso está no campo das funções complexas, especialmente analisando onde a função é diferenciável. Para resolver isso, vamos precisar entender as chamadas Equações de Cauchy-Riemann, que nos ajudam a verificar a diferenciabilidade de funções complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever
de uma forma mais amigável:
, onde
e
são números reais, e
é a unidade imaginária. A parte imaginária de
é
, ou seja,
.
Então, a função fica:
Aqui, podemos separar em parte real
e parte imaginária
:
Passo 3
Agora, vamos aplicar as Equações de Cauchy-Riemann para verificar onde a função é diferenciável. As equações dizem que, para a função ser diferenciável em um ponto, as seguintes condições devem ser satisfeitas:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Substituindo nas Equações de Cauchy-Riemann:
Da primeira equação,
só é verdade quando
. E da segunda, já temos que
.
Então, o único ponto onde as Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas é quando
e
, ou seja, no ponto
.
Passo 5
Agora que sabemos que a função
só é diferenciável em
, vamos calcular a derivada nesse ponto. Para funções complexas, a derivada em
pode ser calculada como:
Como
, temos:
Lembrando que
, onde
e
são reais. Então:
Dividindo por
:
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de
:
Quando
tende a 0, tanto
quanto
tendem a 0, então o limite vale 0.
Resposta
A derivada de
existe apenas no ponto
e vale
.