Determine os pontos onde existe a derivada de f(z)=z cdot Im(z). Escolha um ponto e calcule o valor da derivada no ponto

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir em quais pontos a função f(z) = z cdot Im(z) tem derivada. Isso está no campo das funções complexas, especialmente analisando onde a função é diferenciável. Para resolver isso, vamos precisar entender as chamadas Equações de Cauchy-Riemann, que nos ajudam a verificar a diferenciabilidade de funções complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever z de uma forma mais amigável: z = x + iy , onde x e y são números reais, e i é a unidade imaginária. A parte imaginária de z é y , ou seja, Im(z) = y .
Então, a função fica:
f(z) = z cdot Im(z) = (x + iy) cdot y = xy + i y^2
Aqui, podemos separar em parte real u(x, y) e parte imaginária v(x, y) :
u(x, y) = xy v(x, y) = y^2

Passo 3

Agora, vamos aplicar as Equações de Cauchy-Riemann para verificar onde a função é diferenciável. As equações dizem que, para a função ser diferenciável em um ponto, as seguintes condições devem ser satisfeitas:
partial upartial x = partial vpartial y partial upartial y = -partial vpartial x
Vamos calcular as derivadas parciais:
partial upartial x = y partial upartial y = x partial vpartial x = 0 partial vpartial y = 2y

Passo 4

Substituindo nas Equações de Cauchy-Riemann:
y = 2y x = -0 implies x = 0
Da primeira equação, y = 2y só é verdade quando y = 0 . E da segunda, já temos que x = 0 .
Então, o único ponto onde as Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas é quando x = 0 e y = 0 , ou seja, no ponto z = 0 .

Passo 5

Agora que sabemos que a função f(z) só é diferenciável em z = 0 , vamos calcular a derivada nesse ponto. Para funções complexas, a derivada em z = 0 pode ser calculada como:
f'(0) = limh to 0 f(h) - f(0)h
Como f(0) = 0 , temos:
f'(0) = limh to 0 f(h)h
Lembrando que h = a + ib , onde a e b são reais. Então:
f(h) = h cdot Im(h) = (a + ib) cdot b = ab + i b^2
Dividindo por h :
f(h)h = ab + i b^2a + ib
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de h :
(ab + i b^2)(a - ib)a^2 + b^2 = a^2 b - i a b^2 + i a b^2 - i^2 b^3a^2 + b^2 = a^2 b + b^3a^2 + b^2
Quando h tende a 0, tanto a quanto b tendem a 0, então o limite vale 0.

Resposta

A derivada de f(z) = z cdot Im(z) existe apenas no ponto z = 0 e vale f'(0) = 0 .

Exercícios relacionados