Determine os valores extremos de
na região descrita por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os valores extremos da função
dentro da região definida pela equação
. Isso significa que queremos descobrir os pontos onde a função atinge seus mínimos e máximos, mas apenas na circunferência de raio 1. Para resolver isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica para otimizar uma função com restrições.
Passo 2
Primeiro, lembremos o que são multiplicadores de Lagrange. Esse método nos ajuda a encontrar os extremos de uma função
sujeita a uma restrição
. A ideia é resolver o sistema onde o gradiente de
é igual a um múltiplo (Lagrange) do gradiente de
, ou seja:
E também satisfaz a restrição
.
Passo 3
Vamos calcular os gradientes das funções
e
.
Para
:
Para a restrição
:
Passo 4
Aplicando a condição dos multiplicadores de Lagrange
, temos:
Isso nos dá duas equações:
Passo 5
Vamos resolver essas equações:
-
Da primeira equação
: - Se
, podemos dividir ambos os lados por , encontrando . - Se
, a equação é satisfeita para qualquer .
- Se
-
Da segunda equação
: - Se
, dividindo ambos os lados por , temos . - Se
, a equação é satisfeita para qualquer .
- Se
Passo 6
Vamos analisar os casos:
-
Caso 1:
- Da primeira equação, já temos
. - Da segunda equação,
implica , ou seja, . - Com
e usando a restrição , temos , então . - Pontos:
e .
- Da primeira equação, já temos
-
Caso 2:
- Da segunda equação, já temos
. - Da primeira equação,
implica , então e . - Com
e usando a restrição , temos , então . - Pontos:
e .
- Da segunda equação, já temos
Passo 7
Agora, vamos calcular o valor da função
em cada um desses pontos para identificar os extremos:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Resposta
Os valores extremos da função são:
- Mínimos locais:
nos pontos e . - Máximos locais:
nos pontos e .