Determine os valores extremos de f(x, y)=x^2+2 y^2+1 na região descrita por x^2+y^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os valores extremos da função f(x, y) = x^2 + 2y^2 + 1 dentro da região definida pela equação x^2 + y^2 = 1 . Isso significa que queremos descobrir os pontos onde a função atinge seus mínimos e máximos, mas apenas na circunferência de raio 1. Para resolver isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica para otimizar uma função com restrições.

Passo 2

Primeiro, lembremos o que são multiplicadores de Lagrange. Esse método nos ajuda a encontrar os extremos de uma função f(x, y) sujeita a uma restrição g(x, y) = 0 . A ideia é resolver o sistema onde o gradiente de f é igual a um múltiplo (Lagrange) do gradiente de g , ou seja:
nabla f = lambda nabla g
E também satisfaz a restrição g(x, y) = 0 .

Passo 3

Vamos calcular os gradientes das funções f e g .
Para f(x, y) = x^2 + 2y^2 + 1 :
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) = (2x, 4y)
Para a restrição g(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0 :
nabla g = ( partial gpartial x, partial gpartial y ) = (2x, 2y)

Passo 4

Aplicando a condição dos multiplicadores de Lagrange nabla f = lambda nabla g , temos:
(2x, 4y) = lambda (2x, 2y)
Isso nos dá duas equações:
2x = lambda 2x e 4y = lambda 2y

Passo 5

Vamos resolver essas equações:
  1. Da primeira equação 2x = lambda 2x :
    • Se x neq 0 , podemos dividir ambos os lados por 2x , encontrando lambda = 1 .
    • Se x = 0 , a equação é satisfeita para qualquer lambda .
  2. Da segunda equação 4y = lambda 2y :
    • Se y neq 0 , dividindo ambos os lados por 2y , temos lambda = 2 .
    • Se y = 0 , a equação é satisfeita para qualquer lambda .

Passo 6

Vamos analisar os casos:
  1. Caso 1: lambda = 1
    • Da primeira equação, já temos lambda = 1 .
    • Da segunda equação, 4y = 2y implica 2y = 0 , ou seja, y = 0 .
    • Com y = 0 e usando a restrição x^2 + y^2 = 1 , temos x^2 = 1 , então x = pm 1 .
    • Pontos: (1, 0) e (-1, 0) .
  2. Caso 2: lambda = 2
    • Da segunda equação, já temos lambda = 2 .
    • Da primeira equação, 2x = 2 cdot 2x implica 2x = 4x , então -2x = 0 e x = 0 .
    • Com x = 0 e usando a restrição x^2 + y^2 = 1 , temos y^2 = 1 , então y = pm 1 .
    • Pontos: (0, 1) e (0, -1) .

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor da função f em cada um desses pontos para identificar os extremos:
  1. Em (1, 0) :
f(1, 0) = 1^2 + 2(0)^2 + 1 = 1 + 0 + 1 = 2
  1. Em (-1, 0) :
f(-1, 0) = (-1)^2 + 2(0)^2 + 1 = 1 + 0 + 1 = 2
  1. Em (0, 1) :
f(0, 1) = 0^2 + 2(1)^2 + 1 = 0 + 2 + 1 = 3
  1. Em (0, -1) :
f(0, -1) = 0^2 + 2(-1)^2 + 1 = 0 + 2 + 1 = 3

Resposta

Os valores extremos da função são:
  • Mínimos locais: f = 2 nos pontos (1, 0) e (-1, 0) .
  • Máximos locais: f = 3 nos pontos (0, 1) e (0, -1) .

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