Determine os valores extremos de f(x, y)=x^2+2 y^2+1 na região descrita por x^2+y^2 <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de encontrar os valores extremos (máximo e mínimo) de uma função f(x, y) = x^2 + 2 y^2 + 1 dentro de uma região circular definida por x^2 + y^2 <= 1 . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente sobre otimização com restrições. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar extremos em regiões delimitadas e usar algumas técnicas de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde queremos achar os extremos. A condição x^2 + y^2 <= 1 define um círculo com raio 1, centrado na origem (0,0). Então, estamos procurando os valores máximos e mínimos da função f(x, y) dentro desse círculo e na própria borda dele.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função f(x, y) = x^2 + 2 y^2 + 1 . Essa é uma função quadrática em duas variáveis, e queremos saber onde ela atinge seus valores mais altos e mais baixos dentro da região definida. Para isso, vamos encontrar os pontos críticos da função e também avaliar a função na borda do círculo.

Passo 4

Primeiro, encontramos os pontos críticos da função sem considerar a restrição. Para isso, calculamos as derivadas parciais em relação a x e y e igualamos a zero:
partial fpartial x = 2x = 0 Rightarrow x = 0
partial fpartial y = 4y = 0 Rightarrow y = 0
Então, o único ponto crítico é (0, 0) .

Passo 5

Vamos avaliar a função nesse ponto crítico:
f(0, 0) = 0^2 + 2 cdot 0^2 + 1 = 1
Esse é um candidato ao mínimo ou máximo dentro da região.

Passo 6

Agora, precisamos verificar os valores da função na borda da região, onde x^2 + y^2 = 1 . Nessa borda, podemos usar o método de substituição parametrizada. Vamos usar coordenadas polares, onde:
x = cos theta
y = sin theta
Com isso, a função fica:
f(theta) = cos^2 theta + 2 sin^2 theta + 1

Passo 7

Simplificando a expressão usando a identidade trigonométrica cos^2 theta + sin^2 theta = 1 :
f(theta) = cos^2 theta + 2 (1 - cos^2 theta) + 1 = cos^2 theta + 2 - 2 cos^2 theta + 1 = -cos^2 theta + 3
Então, f(theta) = 3 - cos^2 theta .

Passo 8

Para encontrar os extremos dessa função em theta , observamos que cos^2 theta varia entre 0 e 1. Assim:
  • Quando cos^2 theta = 0 (isto é, theta = pi2, 3pi2 ), temos f = 3 .
  • Quando cos^2 theta = 1 (isto é, theta = 0, pi ), temos f = 2 .

Passo 9

Então, na borda do círculo, o valor mínimo da função é 2 e o máximo é 3.

Passo 10

Comparando com o valor no ponto crítico dentro da região, que era 1, vemos que:
  • O mínimo absoluto na região é 1, atingido no ponto (0, 0) .
  • O máximo absoluto na região é 3, atingido nos pontos (0, 1) e (0, -1) .

Resposta

Os valores extremos da função são:
  • Mínimo absoluto: f(0, 0) = 1 ,
  • Máximo absoluto: f(0, 1) = f(0, -1) = 3 .

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