Determine os valores extremos de
na região descrita por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de encontrar os valores extremos (máximo e mínimo) de uma função
dentro de uma região circular definida por
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente sobre otimização com restrições. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar extremos em regiões delimitadas e usar algumas técnicas de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde queremos achar os extremos. A condição
define um círculo com raio 1, centrado na origem (0,0). Então, estamos procurando os valores máximos e mínimos da função
dentro desse círculo e na própria borda dele.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função
. Essa é uma função quadrática em duas variáveis, e queremos saber onde ela atinge seus valores mais altos e mais baixos dentro da região definida. Para isso, vamos encontrar os pontos críticos da função e também avaliar a função na borda do círculo.
Passo 4
Primeiro, encontramos os pontos críticos da função sem considerar a restrição. Para isso, calculamos as derivadas parciais em relação a
e
e igualamos a zero:
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 5
Vamos avaliar a função nesse ponto crítico:
Esse é um candidato ao mínimo ou máximo dentro da região.
Passo 6
Agora, precisamos verificar os valores da função na borda da região, onde
. Nessa borda, podemos usar o método de substituição parametrizada. Vamos usar coordenadas polares, onde:
Com isso, a função fica:
Passo 7
Simplificando a expressão usando a identidade trigonométrica
:
Então,
.
Passo 8
Para encontrar os extremos dessa função em
, observamos que
varia entre 0 e 1. Assim:
- Quando
(isto é, ), temos . - Quando
(isto é, ), temos .
Passo 9
Então, na borda do círculo, o valor mínimo da função é 2 e o máximo é 3.
Passo 10
Comparando com o valor no ponto crítico dentro da região, que era 1, vemos que:
- O mínimo absoluto na região é 1, atingido no ponto
. - O máximo absoluto na região é 3, atingido nos pontos
e .
Resposta
Os valores extremos da função são:
- Mínimo absoluto:
, - Máximo absoluto:
.