- Determine os pontos onde existe a derivada de
. Im
. Escolha um ponto e calcule o valor da derivada no ponto
Passo 1
O enunciado pede para determinar os pontos onde existe a derivada complexa da função
Aqui usamos o critério de Cauchy–Riemann (CR) para verificar onde
é holomorfa. Depois, escolhemos um dos pontos (se houver) e calculamos
naquele ponto.
Passo 2
Escrevendo
, temos
logo
Definimos as partes real e imaginária por
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais necessárias para as equações de CR:
As condições de Cauchy–Riemann são
Passo 4
Substituindo:
Portanto só em
, isto é,
, as equações de CR se satisfazem. Concluímos que
é diferenciável apenas em
.
Passo 5
Agora vamos calcular
pela definição
Como
quando
, obtemos
Resposta
A função
é complexamente diferenciável somente em
, e nesse ponto