1. Determine os pontos onde existe a derivada de f(z)=z. Im (z). Escolha um ponto e calcule o valor da derivada no ponto

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos onde existe a derivada complexa da função
f(z)=z\,\Im(z).
Aqui usamos o critério de Cauchy–Riemann (CR) para verificar onde f é holomorfa. Depois, escolhemos um dos pontos (se houver) e calculamos f' naquele ponto.

Passo 2

Escrevendo z=x+iy, temos
\Im(z)=y,
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f(x,y)= (x+iy)\,y = xy + i\,y^2.
Definimos as partes real e imaginária por
u(x,y)=xy, \quad v(x,y)=y^2.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais necessárias para as equações de CR:
u_x = \frac{\partial}{\partial x}(xy)=y, \quad u_y = \frac{\partial}{\partial y}(xy)=x,
v_x = \frac{\partial}{\partial x}(y^2)=0, \quad v_y = \frac{\partial}{\partial y}(y^2)=2y.
As condições de Cauchy–Riemann são
u_x = v_y \quad\text{e}\quad u_y = -\,v_x.

Passo 4

Substituindo:
y = 2y \quad\Longrightarrow\quad y=0,
x = -0 \quad\Longrightarrow\quad x=0.
Portanto só em (x,y)=(0,0), isto é, z=0, as equações de CR se satisfazem. Concluímos que f é diferenciável apenas em z=0.

Passo 5

Agora vamos calcular f'(0) pela definição
f'(0) = \lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{h\,\Im(h)-0}{h} = \lim_{h\to 0}\Im(h).
Como \Im(h)\to 0 quando h\to0, obtemos
f'(0)=0.

Resposta

A função f(z)=z\,\Im(z) é complexamente diferenciável somente em z=0, e nesse ponto
f'(0)=0.

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