- Represente
na forma
. Obtenha a regra de derivação utilizando a regra da cadeia e as equações de Cauchy Riemann
Passo 1
O enunciado pede para representar
na forma real e imaginária
, onde
, e em seguida obter a derivada
usando a regra da cadeia e as equações de Cauchy–Riemann.
Passo 2
Primeiro calculamos
Logo,
Dessa forma,
Passo 3
Para verificar que
é diferenciável, checamos as equações de Cauchy–Riemann:
portanto
. Do mesmo modo,
logo
. Assim, as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas e
é holomorfa.
Passo 4
Como
é holomorfa, a derivada pode ser obtida por
Mas também vale a regra da cadeia direta em
com
:
Resposta
u(x,y)=
-
}\cos(2xy),
v(x,y)= - }\sin(2xy),
f’(z) z,
}.
v(x,y)= -
f’(z)