1. Represente f(z)=e^{z^{2}} na forma f(z)=u(x, y)+i v(x, y). Obtenha a regra de derivação utilizando a regra da cadeia e as equações de Cauchy Riemann

Passo 1

O enunciado pede para representar
f(z)=e^{z^{2}}
na forma real e imaginária f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y), onde z=x+iy, e em seguida obter a derivada f'(z) usando a regra da cadeia e as equações de Cauchy–Riemann.

Passo 2

Primeiro calculamos
z^{2}=(x+iy)^{2}=x^{2}-y^{2}+i\,2xy.
Logo,
e^{z^{2}} =e^{x^{2}-y^{2}+i\,2xy} =e^{x^{2}-y^{2}}\bigl(\cos(2xy)+i\sin(2xy)\bigr).
Dessa forma,
u(x,y)=e^{x^{2}-y^{2}}\cos(2xy), \quad v(x,y)=e^{x^{2}-y^{2}}\sin(2xy).

Passo 3

Para verificar que f é diferenciável, checamos as equações de Cauchy–Riemann:
u_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x^{2}-y^{2}}\cos(2xy)\bigr) = e^{x^{2}-y^{2}}\bigl(2x\cos(2xy)-2y\sin(2xy)\bigr),
v_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x^{2}-y^{2}}\sin(2xy)\bigr) = e^{x^{2}-y^{2}}\bigl(-2y\sin(2xy)+2x\cos(2xy)\bigr),
portanto u_x = v_y. Do mesmo modo,
u_y = e^{x^{2}-y^{2}}\bigl(-2y\cos(2xy)-2x\sin(2xy)\bigr),
v_x = e^{x^{2}-y^{2}}\bigl(2x\sin(2xy)+2y\cos(2xy)\bigr),
logo u_y = -v_x. Assim, as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas e f é holomorfa.

Passo 4

Como f é holomorfa, a derivada pode ser obtida por
f'(z)=u_x + i\,v_x.
Mas também vale a regra da cadeia direta em \displaystyle f(z)=e^{w} com w=z^{2}:
\frac{df}{dz} =\frac{d}{dz}\bigl(e^{z^{2}}\bigr) =e^{z^{2}}\cdot\frac{d}{dz}(z^{2}) = e^{z^{2}}\cdot 2z =2z\,e^{z^{2}}.

Resposta

u(x,y)= e^{x^{2}- y^{2}}\cos(2xy),
v(x,y)= e^{x^{2}- y^{2}}\sin(2xy),
f’(z) =2z, e^{z^{2}}.

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