(2,0 pontos) Dadas as retas r:\left\{\begin{array}{l}x=2+t \\\ y=4-t \\\ z=-t\end{array}\right. e s : \left\{\begin{array}{l}y=6-x \\\ z=2-x\end{array}\right..
(a) Verifique se s e r são coplanares ou reversas.
(b) Se forem coplanares, são Coincidentes ou Paralelas ou Concorrentes? Justifique!

Passo 1

O enunciado pede para estudar a posição relativa entre as retas
r:\begin{cases} x=2+t,\\\ y=4-t,\\\ z=-t \end{cases} \quad\text{e}\quad s:\begin{cases} y=6-x,\\\ z=2-x \end{cases}
Isso envolve o conteúdo de geometria analítica no espaço: identificação de vetores diretores, teste de coplanaridade (ou reversidade) e, em caso de coplanaridade, classificação como coincidentes, paralelas ou concorrentes.

Passo 2

Extraímos o vetor diretor de r diretamente dos coeficientes de t:
\mathbf{v}_r=(1,\,-1,\,-1).
Para s, colocamos x=\lambda como parâmetro, então
y=6-\lambda,\quad z=2-\lambda
e o vetor diretor é
\mathbf{v}_s=(1,\,-1,\,-1).

Passo 3

Como \mathbf{v}_s = 1\cdot\mathbf{v}_r, os vetores diretores são colineares. Logo, r e s não podem ser reversas (escaras); são paralelas ou coincidentes. Isso já garante que são coplanares.

Passo 4

Para decidir entre paralelas e coincidentes, basta ver se há ponto em comum. Tomemos t=0 em r, obtendo
P=(2,\,4,\,0).
Verificamos em s:
y=6-x\implies 4=6-2,\quad z=2-x\implies 0=2-2,
ambas verdadeiras. Assim P\in s. Como têm direção paralela e ao menos um ponto em comum, as retas coincidem.

Resposta

(a) r e s são coplanares.
(b) São coincidentes.

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