1. Expressar \mathrm{A}, \mathrm{B} e C em termos de x e y, sendo que:
    \mathrm{A}=\arg \left(e^{i(z+\bar{z})}\right) \quad \mathrm{B}=\left|e^{z(z-1)}\right| \quad \mathrm{C}=\overline{i e^{z}+1}

Passo 1

O enunciado dá z=x+iy e pede expressar em função de x e y: \mathrm{A}=\arg\bigl(e^{i(z+\bar z)}\bigr), \mathrm{B}=\bigl|e^{z(z-1)}\bigr| e \mathrm{C}=\overline{i e^{z}+1}.
Vamos usar propriedades de exponencial complexa (argumento e módulo), parte real/imaginária e conjugação.

Passo 2

Calcular \mathrm{A}=\arg\bigl(e^{i(z+\bar z)}\bigr).
Primeiro
z+\bar z=(x+iy)+(x-iy)=2x\in\mathbb{R},
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i(z+\bar z)=2ix\quad\text{e}\quad e^{i(z+\bar z)}=e^{2ix}.
Como \bigl|e^{2ix}\bigr|=1, o seu argumento é
\mathrm{A}=2x\quad(\bmod\,2\pi).

Passo 3

Calcular \mathrm{B}=\bigl|e^{z(z-1)}\bigr|.
Multiplicando
z(z-1)=(x+iy)\bigl((x-1)+iy\bigr)=x^2 - x -y^2 + i\,(2xy - y).
O módulo de e^{w} é e^{\Re(w)}. Logo
\mathrm{B}=e^{\Re\bigl(z(z-1)\bigr)} =e^{\,x^2 - x - y^2}.

Passo 4

Calcular \mathrm{C}=\overline{i e^{z}+1}.
Escrevendo
i e^{z}+1 =i e^{x+iy}+1 =i e^x(\cos y+i\sin y)+1 =(1 - e^x\sin y)+i\,e^x\cos y.
Tomando o conjugado, troca-se o sinal da parte imaginária:
\mathrm{C}=(1 - e^x\sin y)\;-\;i\,e^x\cos y.

Resposta

\mathrm{A}=2x \mathrm{B}=e^{x^2 - x - y^2} \mathrm{C}=(1 - e^x\sin y)-i\,e^x\cos y

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