Seja \mathrm{f}(\mathrm{z})=e^{(2 \bar{z}+i)}. Obter o módulo e o argumento de \mathrm{f}(\mathrm{z}). Investigar se a função é derivável e se for o caso obter a sua regra de derivação e o valor da derivada em um ponto adequado.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(z)=e^{\,2\bar z + i}
com z\in\mathbb{C}. Precisamos achar o módulo e o argumento de f(z) e investigar se f é (complexamente) diferenciável. Para isso usaremos:
  1. A escrita z=x+iy, \bar z=x-iy e a propriedade e^{a+ib}=e^{a}e^{ib}.
  2. As condições de Cauchy–Riemann ou, equivalentemente, o operador de Wirtinger \partial f/\partial \bar z.

Passo 2

Escrevendo z=x+iy e \bar z=x-iy, o expoente fica
2\bar z + i = 2(x-iy) + i = 2x + i(1-2y).
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f(z) = e^{2x + i(1-2y)} = e^{2x}\,e^{\,i(1-2y)}.

Passo 3

Do resultado anterior seguem imediatamente:
|f(z)| = e^{2x},
pois |e^{2x}|=e^{2x} e |e^{i\theta}|=1, e
\arg f(z) = 1 - 2y \quad(\bmod\,2\pi).

Passo 4

Para ver se f é holomorfa, note que depende de \bar z. Usando o operador de Wirtinger,
\frac{\partial f}{\partial \bar z} = \frac{\partial}{\partial \bar z}\bigl(e^{2\bar z + i}\bigr) = 2\,e^{2\bar z + i}.
Como e^{2\bar z + i}\neq0 para todo z, temos \partial f/\partial \bar z\neq0, ou seja, as condições de Cauchy–Riemann falham em todo ponto. Portanto f não é (complexamente) diferenciável em nenhum z.

Resposta

|f(z)| = e^{2x}. \arg f(z) = 1 - 2y\pmod{2\pi}.
A função não é diferenciável complexamente em nenhum ponto, pois \partial f/\partial \bar z\neq0.

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