Seja
. Obter o módulo e o argumento de
. Investigar se a função é derivável e se for o caso obter a sua regra de derivação e o valor da derivada em um ponto adequado.
Passo 1
O enunciado dá a função
com
. Precisamos achar o módulo e o argumento de
e investigar se
é (complexamente) diferenciável. Para isso usaremos:
- A escrita
, e a propriedade . - As condições de Cauchy–Riemann ou, equivalentemente, o operador de Wirtinger
.
Passo 2
Escrevendo
e
, o expoente fica
Logo
Passo 3
Do resultado anterior seguem imediatamente:
pois
e
, e
Passo 4
Para ver se
é holomorfa, note que depende de
. Usando o operador de Wirtinger,
Como
para todo
, temos
, ou seja, as condições de Cauchy–Riemann falham em todo ponto. Portanto
não é (complexamente) diferenciável em nenhum
.
Resposta
A função não é diferenciável complexamente em nenhum ponto, pois