Um engenheiro de produção está analisando a acumulação de capital de uma empresa ao longo do tempo. A taxa de investimento da empresa é dada pela função I(t)=100 e^{0,05 t}, onde t é o tempo em anos e \mathrm{I}(\mathrm{t}) é a taxa de investimento em milhões de reais por ano. Se a empresa começou com um capital inicial de 50 milhões de reais, qual será o capital total acumulado após 10 anos? R : R \ 1347,44$ milhões ou 1,35 bilhões

Passo 1

O enunciado dá a taxa de investimento contínuo da empresa como
I(t)=100\,e^{0,05t}
em milhões de reais por ano, e diz que o capital inicial em t=0 é de 50 milhões de reais. Pede-se o capital acumulado após 10 anos, ou seja
K(10)=K(0)+\int_{0}^{10}I(t)\,dt.

Passo 2

Usamos o fato de que o capital acumulado é a soma do capital inicial com a integral da taxa de investimento:
K(10)=50 + \int_{0}^{10}100\,e^{0,05t}\,dt.

Passo 3

Calcular a integral
\int_{0}^{10}100\,e^{0,05t}\,dt.
Fatorando constantes,
\int_{0}^{10}100\,e^{0,05t}\,dt =100\;\int_{0}^{10}e^{0,05t}\,dt.
Como \displaystyle \int e^{at}dt=\tfrac{1}{a}e^{at}, temos
100\;\int_{0}^{10}e^{0,05t}\,dt =100\;\biggl[\tfrac{1}{0,05}e^{0,05t}\biggr]_{0}^{10} =\frac{100}{0,05}\Bigl(e^{0,5}-1\Bigr).

Passo 4

Calculemos numericamente:
\frac{100}{0,05}=2000, \quad e^{0,5}\approx1,6487,
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\int_{0}^{10}100\,e^{0,05t}\,dt =2000\bigl(1,6487-1\bigr) =2000\times0,6487 \approx1297,44.

Passo 5

Somando o capital inicial de 50 milhões, obtemos
K(10)=50+1297,44=1347,44
milhões de reais, isto é, aproximadamente 1,35 bilhões de reais.

Resposta

O capital acumulado após 10 anos é de 1347,44 milhões de reais (aproximadamente 1,35 bilhões).

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