J) Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum 3^kk^3 2^k+2

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
sumk=1^infty3^kk^3,2^k+2
Este termo geral combina um fator exponencial l(tfrac32r)^k e um fator polinomial em k, então faz sentido aplicar o teste da razão.

Passo 2

Definimos
ak = 3^kk^3,2^k+2
Vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
ak+1ak = 3^k+1(k+1)^3,2^k+33^kk^3,2^k+2

Passo 3

Simplificando a razão:
ak+1ak = 3^k+1(k+1)^3,2^k+3 cdotk^3,2^k+23^k = 32,k^3(k+1)^3
Agora tomamos o limite quando ktoinfty:
limktoinftyak+1ak = 32,limktoinftyl(kk+1r)^3 = 32cdot1 = 32

Passo 4

Como o resultado do teste da razão é maior que 1 ( tfrac32>1), concluímos que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da razão.

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