Determine a posição relativa entre os planos:
4 x+2 y-3 z+7=0 \quad \text { e } \quad 4 x+2 y-2 z+1=0 \quad \text { e } \quad-4 x-2 y+z+5=0

Passo 1

O enunciado dá três planos em \mathbb{R}^3:
P_1:4x+2y-3z+7=0,\quad P_2:4x+2y-2z+1=0,\quad P_3:-4x-2y+z+5=0.
O conteúdo é geometria analítica espacial: vamos usar vetores normais para checar paralelismo e depois descobrir em que objeto (reta ou ponto) eles se intersectam.

Passo 2

Calculamos os vetores normais de cada plano:
\mathbf{n}_1=(4,2,-3),\quad \mathbf{n}_2=(4,2,-2),\quad \mathbf{n}_3=(-4,-2,1).
Para verificar se dois planos são paralelos, basta ver se seus normais são proporcionais.
Comparando \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2, não existe \lambda tal que
(4,2,-3)=\lambda\,(4,2,-2),
pois isso exigiria -3=\lambda(-2) e 2=\lambda\cdot2 ao mesmo tempo. Mesmo raciocínio vale para qualquer outro par. Logo, nenhum par de planos é paralelo.

Passo 3

Para ver se há interseção em ponto único, calculamos o determinante formado pelas normais:
\det\begin{pmatrix} 4 & 2 & -3\\\\ 4 & 2 & -2\\\\ -4 & -2 & 1 \end{pmatrix} =-8+8+0=0.
Como o determinante é zero, as três normais são linearmente dependentes e não há ponto único comum às três. Resta a possibilidade de interseção numa reta ou planos sem interseção comum.

Passo 4

A reta de interseção de P_1 com P_2 tem direção dada por
\mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2 =\det\begin{pmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ 4&2&-3\\\ 4&2&-2\end{pmatrix} =(2\cdot(-2)-(-3)\cdot2,\;-\bigl(4\cdot(-2)-(-3)\cdot4\bigr),\;4\cdot2-2\cdot4) =(2,-4,0).
Para achar um ponto de P_1\cap P_2, subtraímos as equações de P_1 e P_2:
(4x+2y-3z+7)-(4x+2y-2z+1)=0\;\Longrightarrow\;-z+6=0\;\Rightarrow\;z=6.
Em P_1, com z=6: 4x+2y-18+7=0\Rightarrow4x+2y=11. Tomando y=0, obtemos o ponto
P\bigl(\tfrac{11}{4},0,6\bigr)\in P_1\cap P_2.
Então a reta é
L:\;P+\lambda\,\mathbf{v} =\Bigl(\tfrac{11}{4},0,6\Bigr)+\lambda\,(2,-4,0).

Passo 5

Para ver se essa reta está em P_3, verificamos duas coisas:
  1. \mathbf{v}\perp \mathbf{n}_3?
\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}_3=(2,-4,0)\cdot(-4,-2,1)=-8+8+0=0,
logo a direção de L é paralela a P_3.
2) O ponto P satisfaz a equação de P_3?
-4\cdot\tfrac{11}{4}-2\cdot0+1\cdot6+5=-11+6+5=0.
Portanto P\in P_3. Como a reta passa por P e sua direção é paralela a P_3, toda a reta L está contida em P_3.

Resposta

Os três planos não são paralelos entre si e não concorrem em ponto. Em vez disso, eles se intersectam todos uma mesma reta L, dada por
\Bigl(\tfrac{11}{4},0,6\Bigr)+\lambda\,(2,-4,0).

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