Determine os pontos em que a reta tangente à função é horizontal.
f(x)=x^3+6 x^2-15 x-2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos da curva y=f(x) onde a reta tangente é horizontal. Em cálculo, “reta tangente horizontal” significa que a derivada de f em x é zero, ou seja, vamos precisar calcular f'(x) e resolver f'(x)=0.

Passo 2

Começamos calculando a derivada de
f(x)=x^3+6x^2-15x-2
Usando a regra do poder e da soma, temos
f'(x)=3x^2+12x-15

Passo 3

Para achar os valores de x onde a derivada zera, resolvemos
3x^2+12x-15=0
Dividindo ambos os lados por 3, fica
x^2+4x-5=0
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
x=-4pmraiz4^2-4cdot1cdot(-5)2cdot1 =-4pmraiz16+202 =-4pm62,
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x1=1, x2=-5

Passo 4

Agora, encontramos as ordenadas calculando f(1) e f(-5).
Para x=1:
f(1)=1^3+6cdot1^2-15cdot1-2 =1+6-15-2 =-10
Para x=-5:
f(-5)=(-5)^3+6cdot(-5)^2-15cdot(-5)-2 =-125+150+75-2 =98

Resposta

Os pontos onde a reta tangente é horizontal são l(1,-10r) e l(-5,98r).

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