Encontre a derivada da função.
f(t)=tg(e^t)+e^tg t

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(t)=tanl(e^tr)+e^tan t
Aqui vamos aplicar a regra da cadeia duas vezes: uma para tan(e^t) e outra para e^tan t. Também precisamos saber que
  • ddxtan x=sec^2 x,
  • ddxe^x=e^x.

Passo 2

Derivando o primeiro termo f1(t)=tanl(e^tr).
Defina u(t)=e^t, assim f1(t)=tanl(u(t)r).
Pela regra da cadeia:
f1'(t)=sec^2l(u(t)r)cdot u'(t)
Como u'(t)=e^t, temos
f1'(t)=sec^2l(e^tr);e^t

Passo 3

Derivando o segundo termo f2(t)=e^tan t.
Defina v(t)=tan t, logo f2(t)=e^v(t).
Pela regra da cadeia:
f2'(t)=e^v(t)cdot v'(t)
E como v'(t)=sec^2 t, obtemos
f2'(t)=e^tan t;sec^2 t

Passo 4

Agora somamos as derivadas dos dois termos para obter f'(t):
f'(t)=f1'(t)+f2'(t) =sec^2l(e^tr),e^t ;+; e^tan t,sec^2 t

Resposta

f'(t)=e^tsec^2l(e^tr)+e^tan tsec^2 t

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