Determine os pontos em que a reta tangente à função é horizontal.
f(x)=log 9 x-x2

Passo 1

O enunciado pede os pontos em que a reta tangente à função
f(x)=log9x ;-;x2
é horizontal. Para isso, vamos usar derivadas e impor a condição de reta tangente horizontal, que é
f'(x)=0

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Sabendo que
ddxl(logaxr)=1xln a e ddxl(x2r)=12,
temos
f'(x)=1xln 9;-;12

Passo 3

Impondo f'(x)=0, resolvemos para x:
1xln 9-12=0 ;Longrightarrow; 1xln 9=12 ;Longrightarrow; xln 9=2 ;Longrightarrow; x=2ln 9 =1ln 3

Passo 4

Agora achamos a ordenada y=f(x) no ponto x0=tfrac1ln3:
fl(tfrac1ln3r) =log9!l(tfrac1ln3r) -12cdot1ln3
Como
log9!l(tfrac1ln3r) =ln!l(tfrac1ln3r)ln9 =-ln(ln3)2ln3,
segue
fl(tfrac1ln3r) =-ln(ln3)2ln3 -12ln3 =-ln(ln3)+12ln3

Resposta

O único ponto em que a reta tangente é horizontal é
l(,tfrac1ln3,,,-tfracln(ln3)+12ln3r)

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