Determine os pontos em que a reta tangente à função é horizontal.
f(x)=16^x-2^x

Passo 1

Temos a função f(x) = 16^x - 2^x e queremos achar onde a reta tangente é horizontal, isto é, onde f'(x)=0. Para isso, usamos a regra de derivada de exponencial a^x.

Passo 2

Pela regra,
f'(x) = 16^x ,ln(16) , - ,2^x ,ln(2)

Passo 3

Como ln(16)=4ln(2), podemos escrever
f'(x) = ln(2)l(4cdot16^x - 2^xr)

Passo 4

Para reta horizontal igualamos f'(x)=0. Como ln(2)neq0,
4cdot16^x - 2^x = 0

Passo 5

Usando 16^x=2^4x e dividindo ambos os lados por 2^x (que nunca é zero),
4cdot2^3x=1 Longrightarrow 2^3x=2^-2Longrightarrow 3x=-2Longrightarrow x=-tfrac23

Passo 6

Agora calculamos f(-tfrac23):
fl(-tfrac23r)=16^-tfrac23-2^-tfrac23=2^-tfrac83-2^-tfrac23

Passo 7

Portanto o ponto em que a reta tangente é horizontal é (-tfrac23,;2^-tfrac83-2^-tfrac23).

Resposta

(-tfrac23,;2^-tfrac83-2^-tfrac23)

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