Determine os pontos em que a reta tangente à função é horizontal.
f(x)=2 cos x-x, x in[0,2 pi)

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de x em [0,2pi) em que a reta tangente ao gráfico de
f(x)=2cos x - x
é horizontal. Em cálculo, isso acontece quando a derivada de f é zero.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de f. Sabendo que tfracddx(cos x)=-sin x e tfracddx(x)=1, temos
f'(x)=2cdot(-sin x)-1=-2sin x -1

Passo 3

Para a tangente ser horizontal, impomos f'(x)=0. Assim,
-2sin x -1 = 0 Longrightarrow sin x = -tfrac12

Passo 4

Agora resolvemos sin x = -tfrac12 em [0,2pi). As soluções padrão são
x = 7pi6 e x = 11pi6

Passo 5

Para ter os pontos completos, calculamos f nesses x:
fl(tfrac7pi6r) =2cosl(tfrac7pi6r)-tfrac7pi6 =-raiz3-tfrac7pi6,
fl(tfrac11pi6r) =2cosl(tfrac11pi6r)-tfrac11pi6 =raiz3-tfrac11pi6

Resposta

Os pontos onde a reta tangente é horizontal são
l(tfrac7pi6,,-raiz3-tfrac7pi6r) e l(tfrac11pi6,,raiz3-tfrac11pi6r)

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