Determine os pontos em que a reta tangente à função é horizontal.
f(x)=x sec x, x in[0,2 pi)

Passo 1

O enunciado pede os pontos em que a reta tangente à função
f(x)=xsec x, xin[0,2pi)
é horizontal. Isso significa achar x tais que
f'(x)=0
Para isso vamos usar a regra do produto e a derivada l(sec xr)'=sec xtan x.

Passo 2

Aplicando a regra do produto a
f(x)=xsec x
temos
f'(x)=1cdotsec x + xcdot(sec xtan x)
ou seja
f'(x)=sec x + x,sec x,tan x

Passo 3

Fatorando sec x em f'(x):
f'(x)=sec x,(1 + xtan x)
Como sec xneq0 para x no domínio (exceto em tfracpi2 e tfrac3pi2, pontos de descontinuidade que não interessam para horizontalidade), impõe-se
1 + xtan x = 0 Longrightarrow tan x = -1x

Passo 4

Procuramos soluções de
tan x = -1x
no intervalo [0,2pi). O lado direito -1/x é negativo para x>0, e a tangente é negativa em
l(tfracpi2,pir)
Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe exatamente uma raiz nessa faixa.

Passo 5

Fazendo busca numérica em l(1,5708,3,1416r) chega-se a
xapprox2,8007

Passo 6

O valor de y=f(x) nesse x é
y = xsec x approx 2,8007;1cos(2,8007) approx -2,971

Resposta

O único ponto de tangente horizontal em [0,2pi) é aproximadamente
l(2,8007,,-2,971r)

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