Determine o valor de L para que as seguintes funções sejam contínuas nos pontos dados:
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{e^{x}-1}{x} & \text { se } x \neq 0 \\\ L^{x} & \text { se } x=0\end{array} \quad\right. no ponto 0

Passo 1

Resumo do enunciado: temos
f(x)= \begin{cases} \dfrac{e^{x}-1}{x},&x\neq0,\\[8pt] L^{x},&x=0, \end{cases}
e queremos escolher L para que f seja contínua em x=0.
Conteúdo: continuidade de função a partir de limite. Para ser contínua em 0, é preciso
\lim_{x\to0}f(x)=f(0).]

Passo 2

Calcular \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}. Esse é um caso clássico de forma \tfrac{0}{0}, então aplicamos a Regra de L’Hôpital: derivada do numerador é e^x e a do denominador é 1. Logo,
\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x} =\lim_{x\to0}\frac{e^x}{1} =e^0 =1.

Passo 3

Avaliar f(0): como para x=0 está definido f(0)=L^0, temos
f(0)=L^0=1,
desde que L\neq0 (pois 0^0 é indeterminado).

Passo 4

Impor continuidade exige
\lim_{x\to0}f(x)=f(0) \quad\Longrightarrow\quad 1=1,
o que é verdadeiro independentemente de L, desde que L^0 exista e valha 1.

Resposta

A função é contínua em 0 para todo L\neq0, pois então f(0)=L^0=1 coincide com o limite \lim_{x\to0}(e^x-1)/x=1.

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