Usando o método de Frobenius, resolva as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
. A gente vai usar o método de Frobenius para resolver essa equação. Esse método é útil quando a equação tem pontos singulares, e ajuda a encontrar soluções em série de potências. Pra isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre séries de potências e como elas são aplicadas em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, a gente assume que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Aqui,
é um número que a gente vai determinar, e
são os coeficientes da série.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Passo 4
Vamos substituir
e
na equação diferencial:
Distribuindo
:
Passo 5
Vamos ajustar os índices para que todas as séries tenham
:
Reescrevendo os índices:
Para eliminar termos negativos, definimos que
.
Passo 6
Igualamos o coeficiente de cada potência de
a zero. Primeiro, para
:
Isso nos dá a equação indicial:
Passo 7
Vamos considerar
primeiro. Substituindo
na equação geral para
:
Simplificando:
Para
, temos:
Aqui, encontramos um problema porque estamos dividindo por zero, o que indica que a solução para
vira uma solução trivial. Então, vamos tentar
.
Passo 8
Com
, a recorrência fica:
Simplificando:
Agora, podemos calcular os coeficientes recursivamente.
Passo 9
Vamos calcular alguns coeficientes:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
E assim por diante.
Passo 10
Agora, montamos a série com
:
Substituindo os coeficientes:
Passo 11
Aplicando as condições iniciais
e
:
-
já está satisfeito. -
Passo 12
Com
, a solução fica:
Essa é a solução da equação diferencial usando o método de Frobenius.
Resposta
A solução da equação diferencial é: