Usando o método de Frobenius, resolva as seguintes equações diferenciais: (x+2) y'' + 3y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau: . A gente vai usar o método de Frobenius para resolver essa equação. Esse método é útil quando a equação tem pontos singulares, e ajuda a encontrar soluções em série de potências. Pra isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre séries de potências e como elas são aplicadas em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, a gente assume que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Aqui, é um número que a gente vai determinar, e são os coeficientes da série.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :

Passo 4

Vamos substituir e na equação diferencial:
Distribuindo :

Passo 5

Vamos ajustar os índices para que todas as séries tenham :
Reescrevendo os índices:
Para eliminar termos negativos, definimos que .

Passo 6

Igualamos o coeficiente de cada potência de a zero. Primeiro, para :
Isso nos dá a equação indicial:

Passo 7

Vamos considerar primeiro. Substituindo na equação geral para :
Simplificando:
Para , temos:
Aqui, encontramos um problema porque estamos dividindo por zero, o que indica que a solução para vira uma solução trivial. Então, vamos tentar .

Passo 8

Com , a recorrência fica:
Simplificando:
Agora, podemos calcular os coeficientes recursivamente.

Passo 9

Vamos calcular alguns coeficientes:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
E assim por diante.

Passo 10

Agora, montamos a série com :
Substituindo os coeficientes:

Passo 11

Aplicando as condições iniciais e :
  • já está satisfeito.

Passo 12

Com , a solução fica:
Essa é a solução da equação diferencial usando o método de Frobenius.

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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