Esboce o gráfico das seguintes funções.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos o gráfico da função
. Isso está relacionado ao estudo de superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar graficamente funções de duas variáveis e como identificar o tipo de superfície que elas formam.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Essa função é uma combinação de termos quadráticos em
e
. Para esboçar o gráfico, uma estratégia legal é identificar se a função representa superfícies conhecidas, como elipses, hipérboles ou parábolas, dependendo dos coeficientes e dos sinais.
Passo 3
Observando os coeficientes, temos
positivo e
negativo. Quando temos um termo positivo e outro negativo quadrático, isso geralmente indica que estamos lidando com um hiperbolóide de uma folha, que é uma superfície com formato de sela. Essa forma ocorre porque os termos têm sinais opostos, o que gera curvaturas em direções diferentes.
Passo 4
Para ter uma ideia melhor, podemos traçar algumas curvas de nível fixando
em valores específicos. Por exemplo:
- Se
, temos ou , que é uma hipérbole. - Se
, as curvas serão hipérboles abertas ao longo do eixo . - Se
, as curvas serão hipérboles abertas ao longo do eixo .
Passo 5
Além disso, podemos determinar a orientação da superfície. Como o coeficiente de
é positivo e o de
é negativo, a superfície se abre ao longo dos eixos onde
influencia positivamente e
influencia negativamente. Isso cria a característica forma de sela, onde a superfície curva para cima em uma direção e para baixo na outra.
Resposta
Então, o gráfico da função
é um hiperbolóide de uma folha, com formato de sela. Ele se abre ao longo do eixo
e se fecha ao longo do eixo
. Para esboçá-lo, imagine uma superfície que sobe nas direções positivas e negativas de
e desce nas direções positivas e negativas de
, formando uma curva tridimensional característica.