Esboce o gráfico das seguintes funções.
k) f(x, y) = 2 x^2 - 3 y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos o gráfico da função . Isso está relacionado ao estudo de superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar graficamente funções de duas variáveis e como identificar o tipo de superfície que elas formam.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Essa função é uma combinação de termos quadráticos em e . Para esboçar o gráfico, uma estratégia legal é identificar se a função representa superfícies conhecidas, como elipses, hipérboles ou parábolas, dependendo dos coeficientes e dos sinais.

Passo 3

Observando os coeficientes, temos positivo e negativo. Quando temos um termo positivo e outro negativo quadrático, isso geralmente indica que estamos lidando com um hiperbolóide de uma folha, que é uma superfície com formato de sela. Essa forma ocorre porque os termos têm sinais opostos, o que gera curvaturas em direções diferentes.

Passo 4

Para ter uma ideia melhor, podemos traçar algumas curvas de nível fixando em valores específicos. Por exemplo:
  • Se , temos ou , que é uma hipérbole.
  • Se , as curvas serão hipérboles abertas ao longo do eixo .
  • Se , as curvas serão hipérboles abertas ao longo do eixo .

Passo 5

Além disso, podemos determinar a orientação da superfície. Como o coeficiente de é positivo e o de é negativo, a superfície se abre ao longo dos eixos onde influencia positivamente e influencia negativamente. Isso cria a característica forma de sela, onde a superfície curva para cima em uma direção e para baixo na outra.

Resposta

Então, o gráfico da função é um hiperbolóide de uma folha, com formato de sela. Ele se abre ao longo do eixo e se fecha ao longo do eixo . Para esboçá-lo, imagine uma superfície que sobe nas direções positivas e negativas de e desce nas direções positivas e negativas de , formando uma curva tridimensional característica.

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