Determine os pontos singulares da equação diferencial ordinária, e classifique-os como regular ou irregulares:
2 x(1-x) y^prime prime+(1+x) y^prime-y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
2x(1-x),y''+(1+x),y'-y=0
e pede para encontrar os pontos singulares e classificá-los como regulares ou irregulares. O conteúdo aqui é a teoria de pontos singulares em equações lineares de segunda ordem na forma
y''+p(x),y'+q(x),y=0,
onde analisamos onde p(x) ou q(x) deixam de ser analíticas.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão dividindo por 2x(1-x):
y''+underbrace1+x2x(1-x)p(x),y' +underbracel(-12x(1-x)r)q(x),y=0

Passo 3

Os possíveis pontos singulares são onde p(x) ou q(x) não são analíticas, ou seja, onde o denominador 2x(1-x) se anula. Logo aparecem
x=0 e x=1

Passo 4

Analisamos x=0. Precisamos checar se
(x-0),p(x) e (x-0)^2,q(x) são analíticas em x=0:
x,p(x) =1+x2(1-x), x^2,q(x) =-x2(1-x)
Ambas são racionais sem polo em x=0, portanto x=0 é ponto singular regular.

Passo 5

Analisamos x=1. Defina t=x-1. Então verificamos
t,p(x) =(x-1)1+x2x(1-x) =-1+x2x, t^2,q(x) =(x-1)^2l(-12x(1-x)r) =x-12x
Ambas são analíticas em t=0 (isto é, em x=1), logo x=1 também é ponto singular regular.

Passo 6

Para completar, notamos que em xtoinfty temos
p(x)=Ol(1/xr), q(x)=Ol(1/x^2r),
ou seja, x=infty é ponto ordinário, não introduz singularidade adicional.

Resposta

Os únicos pontos singulares em C são
x=0e x=1,
e ambos são pontos singulares regulares. Não há pontos singulares irregulares.

Exercícios relacionados