Resolva as equações diferenciais a seguir usando série de potência com centro em x0=0 :
y=sumn=0^infty an x^n
Ou seja, monte o processo indicando a fórmula de recorrência seguida pela solução em série de potência.
y^prime prime+x^2 y^prime+x y=0 e y(0)=0 e y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por séries de potência centradas em x0=0, a equação diferencial
y'' + x^2 y' + x y = 0
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1.
Vamos assumir a forma
y(x)=sumn=0^inftyan x^n
e obter uma relação de recorrência para os an.

Passo 2

Escrevemos as derivadas em séries:
y'(x)=sumn=1^inftyn,an x^n-1, y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1),an x^n-2
Também
x^2y'(x)=sumn=1^inftyn,an x^n+1, x,y(x)=sumn=0^inftyan x^n+1

Passo 3

Substituindo na EDO e igualando potências de x^k:
sumn=2^infty n(n-1)an x^n-2 +sumn=1^infty n,an x^n+1 +sumn=0^infty an x^n+1=0
Reindexando para x^k:
sumk=0^infty (k+2)(k+1)ak+2x^k +sumk=1^infty (k-1)ak-1x^k +sumk=1^infty ak-1x^k=0
Do termo em k=0 vem
2,a2=0Longrightarrow a2=0
Para k>=1 juntamos os dois últimos somatórios:
(k+2)(k+1)ak+2+l((k-1)+1r)ak-1=0 ;Rightarrow; ak+2=-k,ak-1(k+2)(k+1)

Passo 4

Das condições iniciais temos
y(0)=a0=0, y'(0)=a1=1

Passo 5

Usando a recorrência ak+2= -tfrack,ak-1(k+2)(k+1) e a0=0, a1=1:
a2=0,; a3=-1,a03cdot2=0,; a4=-2,a14cdot3=-212=-16,
a5=-3,a25cdot4=0,; a6=-4,a36cdot5=0,; a7=-5,a47cdot6=5252,;dots
Observa-se que só os a3m+1 são não nulos.

Passo 6

Para m>=1, note que a3m+1 se relaciona com a3(m-1)+1 via
a3m+1 =-(3m-1),a3m-2(3m+1)(3m) =-(3m-1),a3(m-1)+1(3m+1)(3m)
Com isso, por iteração,
a3m+1 =(-1)^m prodj=1^m(3j-1) prodj=1^ml(3j(3j+1)r),
e todos os outros an são zero.

Passo 7

Assim a solução em série é
y(x)=summ=0^inftya3m+1,x^3m+1 =summ=0^infty(-1)^m prodj=1^m(3j-1) prodj=1^ml(3j(3j+1)r) ,x^3m+1
Os primeiros termos são
y(x) = x - 16x^4 + 5252x^7 - 1567x^10 + cdots

Resposta

y(x)=summ=0^infty(-1)^m prodj=1^m(3j-1) prodj=1^ml(3j(3j+1)r) ,x^3m+1

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