Resolva as equações diferenciais a seguir usando série de potência com centro em
:
Ou seja, monte o processo indicando a fórmula de recorrência seguida pela solução em série de potência.
e
e
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por séries de potência centradas em
, a equação diferencial
com condições iniciais
e
.
Vamos assumir a forma
Vamos assumir a forma
e obter uma relação de recorrência para os
.
Passo 2
Escrevemos as derivadas em séries:
Também
Passo 3
Substituindo na EDO e igualando potências de
:
Reindexando para
:
Do termo em
vem
Para
juntamos os dois últimos somatórios:
Passo 4
Das condições iniciais temos
Passo 5
Usando a recorrência
e
,
:
Observa-se que só os
são não nulos.
Passo 6
Para
, note que
se relaciona com
via
Com isso, por iteração,
e todos os outros
são zero.
Passo 7
Assim a solução em série é
Os primeiros termos são