Determine os pontos da superfície y^2=9+x z que estão mais próximos do ponto (0,0,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar os pontos na superfície definida por $ y^{2} = 9 + x z $ que estão mais próximos do ponto $ (0, 0, -1) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização e geometria analítica. Precisaremos entender como minimizar a distância entre dois pontos no espaço tridimensional, considerando uma restrição dada pela equação da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço. A fórmula da distância $ D $ entre dois pontos $ P(x, y, z) $ e $ Q(x_0, y_0, z_0) $ é:
D
No nosso caso, $ Q $ é $ (0, 0, -1) $, então a fórmula fica:
P(x, y, z)
Mas para facilitar os cálculos, vamos trabalhar com o quadrado da distância ($ D^{2} $):
Q(x0, y0, z0)

Passo 3

Agora, temos uma restrição que os pontos $ (x, y, z) $ devem satisfazer: $ y^{2} = 9 + x z $. Isso significa que, ao minimizar $ D^{2} $, precisamos considerar que $ y $ está relacionado com $ x $ e $ z $ através dessa equação.

Passo 4

Vamos substituir a restrição na função $ D^{2} $. Substituindo $ y^{2} $ por $ 9 + x z $:
D^2
y^2
9 + x z
Agora, nossa função para minimizar é $ D^{2} = x^{2} + x z + z^{2} + 2 z + 10 $.

Passo 5

Para encontrar os mínimos dessa função com duas variáveis ($ x $ e $ z $), vamos calcular as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ z $ e igualar a zero.
Primeiro, derivamos em relação a $ x $:
x
Em seguida, derivamos em relação a $ z $:
z
Agora, temos um sistema de equações:
x

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, podemos expressar $ z $ em termos de $ x $:
z
Substituindo esse valor na segunda equação:
x
z = -2x
x + 2(-2x) + 2 = 0
x - 4x + 2 = 0
Agora, substituindo $ x = \frac{2}{3} $ na expressão para $ z $:
-3x + 2 = 0

Passo 7

Com os valores de $ x $ e $ z $, vamos encontrar $ y $ usando a restrição $ y^{2} = 9 + x z $:
x
z
y
y^2 = 9 + x z

Resposta

Os pontos na superfície $ y^{2} = 9 + x z $ que estão mais próximos do ponto $ (0, 0, -1) $ são:
y^2 = 9 + x z

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