Determine os pontos da superfície
que estão mais próximos do ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar os pontos na superfície definida por $ y^{2} = 9 + x z $ que estão mais próximos do ponto $ (0, 0, -1) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização e geometria analítica. Precisaremos entender como minimizar a distância entre dois pontos no espaço tridimensional, considerando uma restrição dada pela equação da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço. A fórmula da distância $ D $ entre dois pontos $ P(x, y, z) $ e $ Q(x_0, y_0, z_0) $ é:
No nosso caso, $ Q $ é $ (0, 0, -1) $, então a fórmula fica:
Mas para facilitar os cálculos, vamos trabalhar com o quadrado da distância ($ D^{2} $):
Passo 3
Agora, temos uma restrição que os pontos $ (x, y, z) $ devem satisfazer: $ y^{2} = 9 + x z $. Isso significa que, ao minimizar $ D^{2} $, precisamos considerar que $ y $ está relacionado com $ x $ e $ z $ através dessa equação.
Passo 4
Vamos substituir a restrição na função $ D^{2} $. Substituindo $ y^{2} $ por $ 9 + x z $:
Agora, nossa função para minimizar é $ D^{2} = x^{2} + x z + z^{2} + 2 z + 10 $.
Passo 5
Para encontrar os mínimos dessa função com duas variáveis ($ x $ e $ z $), vamos calcular as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ z $ e igualar a zero.
Primeiro, derivamos em relação a $ x $:
Em seguida, derivamos em relação a $ z $:
Agora, temos um sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, podemos expressar $ z $ em termos de $ x $:
Substituindo esse valor na segunda equação:
Agora, substituindo $ x = \frac{2}{3} $ na expressão para $ z $:
Passo 7
Com os valores de $ x $ e $ z $, vamos encontrar $ y $ usando a restrição $ y^{2} = 9 + x z $:
Resposta
Os pontos na superfície $ y^{2} = 9 + x z $ que estão mais próximos do ponto $ (0, 0, -1) $ são: