Seja a função real de duas variáveis
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Determine a equação do plano tangente à superfície
no ponto
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Determine a equação do plano tangente à superfície
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = \ln(x^{2} - 2y) $, que representa uma superfície no espaço tridimensional. O exercício solicita que encontremos a equação do plano tangente a essa superfície no ponto $ (3, 4, 0) $. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ e usar a fórmula do plano tangente.
Passo 2
Vamos verificar se o ponto $ (3,4,0) $ está de fato na superfície $ f(x,y) $. Substituindo $ x = 3 $ e $ y = 4 $ na função:
Então, o ponto está correto na superfície.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
Passo 4
Vamos avaliar as derivadas parciais no ponto $ (3,4) $:
Primeiro, calculamos o denominador $ x^{2} - 2y = 9 - 8 = 1 $.
Então,
Passo 5
Agora, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação do plano tangente é $ z = 6x - 2y -10 $.