Seja a função real de duas variáveis f(x, y)=ln (x^2-2 y).
Determine a equação do plano tangente à superfície f(x, y) no ponto (3,4,0).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = \ln(x^{2} - 2y) $, que representa uma superfície no espaço tridimensional. O exercício solicita que encontremos a equação do plano tangente a essa superfície no ponto $ (3, 4, 0) $. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ e usar a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Vamos verificar se o ponto $ (3,4,0) $ está de fato na superfície $ f(x,y) $. Substituindo $ x = 3 $ e $ y = 4 $ na função:
(3,4,0)
Então, o ponto está correto na superfície.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
f
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
x

Passo 4

Vamos avaliar as derivadas parciais no ponto $ (3,4) $:
Primeiro, calculamos o denominador $ x^{2} - 2y = 9 - 8 = 1 $.
Então,
(3,4)
x^2 - 2y = 9 - 8 = 1

Passo 5

Agora, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
z = f(x0, y0) + fx(x0,y0)(x - x0) + fy(x0,y0)(y - y0)
Substituindo os valores:
z = 0 + 6(x - 3) - 2(y - 4)
Simplificando:
z = 6x - 18 - 2y + 8
z = 6x - 2y -10

Resposta

A equação do plano tangente é $ z = 6x - 2y -10 $.

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