Seja a função real descrita por
. Determine seus pontos críticos.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função de duas variáveis
. Vamos usar derivadas parciais e o conceito de ponto crítico, que ocorre onde o gradiente é nulo.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 3
Para pontos críticos, impomos
. Assim temos:
Como
nunca é zero, obtemos as equações auxiliares:
Passo 4
Agora combinamos as soluções. Da segunda equação só valem
. Substituindo em
obtemos
podendo ser qualquer valor se
, mas
não satisfaz
. Logo a única forma é ter
junto de
.
Passo 5
Concluímos que os únicos pontos críticos de
são
(i)
(ii) .
(i)
(ii)
Resposta
Os pontos críticos são
e
.