Seja a função real descrita por f(x, y)=y e^-x^2-2 y^2. Determine seus pontos críticos.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função de duas variáveis f(x,y)=y,e^-x^2-2y^2. Vamos usar derivadas parciais e o conceito de ponto crítico, que ocorre onde o gradiente é nulo.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x = y cdot partialpartial xl(e^-x^2-2y^2r) = y cdot e^-x^2-2y^2 cdot (-2x) = -2x,y,e^-x^2-2y^2,
partial fpartial y = e^-x^2-2y^2 + y cdot e^-x^2-2y^2cdot(-4y) = e^-x^2-2y^2,(1-4y^2)

Passo 3

Para pontos críticos, impomos nabla f=(0,0). Assim temos:
-2x,y,e^-x^2-2y^2=0 e e^-x^2-2y^2(1-4y^2)=0
Como e^-x^2-2y^2 nunca é zero, obtemos as equações auxiliares:
-2x,y=0 Rightarrow x=0 ou y=0,
1-4y^2=0 Rightarrow y=pmtfrac12

Passo 4

Agora combinamos as soluções. Da segunda equação só valem y=pmtfrac12. Substituindo em -2xy=0 obtemos x podendo ser qualquer valor se y=0, mas y=0 não satisfaz 1-4y^2=0. Logo a única forma é ter x=0 junto de y=pmtfrac12.

Passo 5

Concluímos que os únicos pontos críticos de f são
(i) (0,tfrac12)
(ii) (0,-tfrac12).

Resposta

Os pontos críticos são (0,tfrac12) e (0,-tfrac12).

Exercícios relacionados