Determine a posição do centro de massa de uma barra fina e homogênea de massa M e comprimento L, por meio de uma integral.

Passo 1

O enunciado pede a posição do centro de massa de uma barra fina homogênea de massa M e comprimento L.
Conteúdo: distribuição contínua de massa unidimensional e cálculo de centro de massa por integral.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas onde o eixo x varia de 0 (na extremidade esquerda da barra) até L (na extremidade direita). Como a barra é homogênea, a densidade linear de massa é constante:
\lambda = \frac{M}{L}.
Um elemento de massa dm contido num trecho infinitesimal dx vale
dm = \lambda\,dx.
Pela definição de centro de massa unidimensional, a abscissa \bar x é
\bar x = \frac{1}{M}\int_{0}^{L} x\,dm.

Passo 3

Substituindo dm = \lambda\,dx em \bar x:
\bar x = \frac{1}{M}\int_{0}^{L} x\,(\lambda\,dx) = \frac{\lambda}{M}\int_{0}^{L} x\,dx = \frac{\lambda}{M}\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{L} = \frac{\lambda\,L^2}{2\,M}.
Como \lambda = M/L, vem
\bar x = \frac{(M/L)\,L^2}{2\,M} = \frac{L}{2}.

Resposta

A posição do centro de massa da barra é \displaystyle \bar x = \frac{L}{2}.

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