( 2,5 pontos): Para um gás monoatómico ideal c_{\gamma}=3 R / 2. Um mol desse gás tem pressâp p, volume V e temperatura T no estado inioial. O gas ta aquecido e sua pressâo duplica e seu volume quadruplica. O processo de aquecimento inclui duas etapas: aprimeira é um aquecimento isocórico e a segunda um aquecimento isobárico.
a) (0,5) Represente este processo no diagrama pV .
b) (1,0) Calcule o calor absorvido pelo gás durante - aquecimento
c) (1,0) Calcule a variação da energia interna durante o aquecimento.

Passo 1

O enunciado descreve um mol de gás monoatômico ideal com c_V=\tfrac{3}{2}R. No estado inicial temos pressão p, volume V e temperatura T. Aquecemos o gás em duas etapas: 1) isocórico (volume constante) até que a pressão duplique, 2) isobárico (pressão constante) até que o volume quadruplique. Vamos usar a lei dos gases ideais, os calores específicos c_V e c_p=c_V+R, e as fórmulas
Q_{\rm isoV}=n\,c_V\,\Delta T, \qquad Q_{\rm isoP}=n\,c_p\,\Delta T, \qquad \Delta U=n\,c_V\,\Delta T.

Passo 2

No diagrama pV representamos o processo em dois segmentos:
1. Traço vertical de A=(V,p) até B=(V,2p) (aquecimento isocórico, V constante).
2. Traço horizontal de B=(V,2p) até C=(4V,2p) (aquecimento isobárico, p constante).

Passo 3

Pela lei dos gases ideais \,pV=RT:
  • No ponto B temos p_B=2p, V_B=V, logo
T_B=\frac{p_BV_B}{R}=\frac{2p\,V}{R}=2T.
  • No ponto C temos p_C=2p, V_C=4V, logo
T_C=\frac{p_CV_C}{R}=\frac{2p\cdot4V}{R}=8T.

Passo 4

Calculemos o calor absorvido:
1. Na etapa isocórica A\to B:
Q_1=n\,c_V\,(T_B-T)=1\cdot\frac{3}{2}R\,(2T-T)=\frac{3}{2}R\,T.
2. Na etapa isobárica B\to C: como c_p=\tfrac{5}{2}R,
Q_2=n\,c_p\,(T_C-T_B) =1\cdot\frac{5}{2}R\,(8T-2T) =\frac{5}{2}R\cdot6T =15\,R\,T.
Portanto o calor total é
Q=Q_1+Q_2 =\frac{3}{2}R\,T+15\,R\,T =\frac{33}{2}R\,T =\frac{33}{2}\,pV.

Passo 5

A variação da energia interna é
\Delta U =n\,c_V\,(T_C-T) =1\cdot\frac{3}{2}R\,(8T-T) =\frac{3}{2}R\cdot7T =\frac{21}{2}R\,T =\frac{21}{2}\,pV.

Resposta

a) No diagrama pV, traçar vertical de (V,p) a (V,2p) e depois horizontal até (4V,2p).
b) Q=\dfrac{33}{2}R\,T=\dfrac{33}{2}\,pV.
c) \Delta U=\dfrac{21}{2}R\,T=\dfrac{21}{2}\,pV.

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