Questão 19: Demonstra-se em eletromagnetismo que uma carga q_{1} acelerada com aceleração a produz sobre uma carga q 2 em repouso, situada à distância r de q_{1}, uma força elétrica de magnitude
k \frac{q_{1} q_{2} a}{c^{2} r}
onde a=|\mathbf{a}|, c é a velocidade da luz e k é a constante da lei de Coulomb.
Admita, por analogia, que uma massa M acelerada com aceleração a produz sobre uma massa m em repouso, situada à distancia r de M, uma força gravitacional de magnitude
G \frac{M m a}{c^{2} r}
Se todas as demais massas do Universo têm aceleração a em relação a m, e se, para simplificar a estimativa, somarmos as magnitudes das forças (em lugar da soma vetorial), a magnitude da força resultante sobre m será \gamma m a, onde
\gamma=\frac{3}{2} \frac{G M_{U}}{c^{2} R_{U}}
e estime o valor numérico de \gamma, tomando para Mu o valor estimado no Capítulo 1, Problema 1.8 , com R U \sim 2 \times 10^{10} anos-luz.

Passo 1

O enunciado usa, por analogia ao caso eletromagnético, uma força gravitacional acelerodinâmica cuja soma sobre todas as massas do Universo dá
F_{\text{total}}=\gamma\,m\,a,
com
\gamma=\frac{3}{2}\,\frac{G\,M_{U}}{c^{2}\,R_{U}}.
Precisamos estimar numericamente \gamma usando G, c, o valor de M_{U} dado no Capítulo 1 Problema 1.8 e R_{U}\approx2\times10^{10} anos-luz.

Passo 2

Listamos os dados em unidades SI:
– Constante gravitacional
G=6{,}67\times10^{-11}\,\mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}.
– Velocidade da luz
c=3{,}00\times10^{8}\,\mathrm{m/s}\quad\Longrightarrow\quad c^{2}=9{,}00\times10^{16}\,\mathrm{m^{2}/s^{2}}.
– Massa do Universo (do Problema 1.8)
M_{U}\approx2\times10^{53}\,\mathrm{kg}.
– Raio do Universo
R_{U}=2\times10^{10}\,\text{anos-luz}.

Passo 3

Convertendo R_{U} para metros:
1~\text{ano-luz}=9{,}46\times10^{15}\,\mathrm{m} \quad\Longrightarrow\quad R_{U}=2\times10^{10}\times9{,}46\times10^{15}\approx1{,}89\times10^{26}\,\mathrm{m}.

Passo 4

Calculamos primeiro a razão
\frac{G\,M_{U}}{c^{2}\,R_{U}} =\frac{6{,}67\times10^{-11}\times2\times10^{53}}{9{,}00\times10^{16}\times1{,}89\times10^{26}} =\frac{1{,}334\times10^{43}}{1{,}701\times10^{43}} \approx0{,}78.

Passo 5

Finalmente, aplicamos o fator \tfrac{3}{2}:
\gamma=\frac{3}{2}\times0{,}78\approx1{,}17\sim1.

Resposta

\gamma\approx1 (ordem de unidade).

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