Faça a identificação entre as quádricas e suas equações, preenchendo corn a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada quádrica.
a) 2 x^2+5 y^2+4 z^2=8
b) -x^2-y+z^2=0
c) y^2+3 z^2=-8+x^2
d) x^2-raiz3 y^2+8 z^2=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar diferentes quádricas com base em suas equações. Quádricas são superfícies no espaço tridimensional definidas por equações de segundo grau em x, y e z. Para resolver isso, vamos precisar saber identificar os tipos de quádricas, como elipsoides, hiperbolóides, paraboloides, entre outros, analisando os coeficientes e os sinais das variáveis na equação.

Passo 2

Vamos começar pela equação a) 2x^2 + 5y^2 + 4z^2 = 8.
Aqui, todos os termos quadráticos têm coeficientes positivos e não há termos mistos nem termos de primeiro grau. Quando todos os coeficientes quadráticos são positivos e iguais entre si (após simplificação), a equação representa um elipsoide. No nosso caso, apesar dos coeficientes não serem iguais, a presença de todos os sinais positivos indica que a quádtrica é um elipsoide.

Passo 3

Agora, olhando para a equação b) -x^2 - y + z^2 = 0.
Primeiro, vamos rearranjar para deixar os termos quadráticos juntos: -x^2 + z^2 = y. Aqui, temos dois termos quadráticos com sinais opostos ( -x^2 positivo para z^2). Isso sugere que estamos lidando com um hiperbolóide. Mais especificamente, por ter apenas dois termos quadráticos com sinais opostos, é provavelmente um hiperbolóide de uma folha.

Passo 4

Vamos para a equação c) y^2 + 3z^2 = -8 + x^2.
Primeiro, vamos levar todos os termos para um lado: y^2 + 3z^2 - x^2 = -8. Podemos reescrever como x^2 - y^2 - 3z^2 = 8. Aqui, temos um termo positivo para x^2 e negativos para y^2 e z^2, indicando novamente um hiperbolóide, mas dessa vez é um hiperbolóide de duas folhas devido à estrutura dos sinais.

Passo 5

Por fim, a equação d) x^2 - raiz3y^2 + 8z^2 = 1.
Nessa equação, temos um termo positivo para x^2 e z^2, mas negativo para y^2. Isso significa que temos dois termos com o mesmo sinal e um com sinal oposto, o que caracteriza um hiperbolóide de uma folha.

Resposta

a) Elipsoide
b) Hiperbolóide de uma folha
c) Hiperbolóide de duas folhas
d) Hiperbolóide de uma folha

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