Determine a posição relativa da reta r e do plano pi nos casos abaixo. Se r e pi se intersectam em um único ponto, determine o ponto de interseção.
r:ly=x-10 z=-x+1 e pi: 2 x-y+3 z-9=0

Passo 1

O enunciado pede a posição relativa da reta
r: y = x - 10, z = -x + 1
e do plano
pi:2x - y + 3z - 9 = 0
O conteúdo aqui é geometria no espaço: representamos a reta em forma paramétrica, obtemos seu vetor diretor e o ponto inicial, pegamos o vetor normal do plano e verificamos se há interseção (isto é, se o vetor diretor não é paralelo ao plano). Se não for paralelo, achamos o ponto de interseção substituindo a parametrização de r em pi.

Passo 2

Parametrizamos a reta tomando x=t. Assim,
x = t, y = t - 10, z = -t + 1
Dessa forma, um ponto em r é
P0 = (0,-10,1)
obtido para t=0, e o vetor diretor de r é
v = (1,1,-1)

Passo 3

O vetor normal do plano pi é
n = (2,-1,3)
Para ver se há interseção, calculamos o produto escalar ncdot v:
ncdot v = 2cdot1 + (-1)cdot1 + 3cdot(-1) = 2 - 1 - 3 = -2 neq 0
Como o produto escalar não é zero, a reta não é paralela ao plano, logo elas se intersectam em exatamente um ponto.

Passo 4

Para achar o ponto de interseção, substituímos x=t, y=t-10, z=-t+1 na equação de pi:
2t - (t-10) + 3(-t+1) - 9 = 0
Resolvendo:
2t - t + 10 - 3t + 3 - 9 = 0 Longrightarrow -2t + 4 = 0 Longrightarrow t = 2

Passo 5

Para t=2, o ponto em r é
(x,y,z) = (2,,2-10,,-2+1) = (2,-8,-1)

Resposta

A reta r e o plano pi intersectam-se em um único ponto, que é
(2,,-8,,-1)

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