Determine a posição relativa da reta r e do plano pi nos casos abaixo. Se r e pi se intersectam em um único ponto, determine o ponto de interseção.
r:lx=2+t y=-t z=1-2 t e pi: 4 x-2 y+3 z+5=0

Passo 1

O enunciado dá a reta
r: x=2+t, y=-t, z=1-2t
e o plano
pi:4x-2y+3z+5=0
Queremos saber se r e pi se intersectam, se são paralelos ou se r está contida em pi.

Passo 2

Extraímos o vetor diretor de r e o vetor normal de pi:
d=(1,,-1,,-2), n=(4,,-2,,3)
Calculamos o produto escalar ncdotd:
ncdotd =4cdot1 + (-2)cdot(-1) + 3cdot(-2) =4 + 2 -6 =0

Passo 3

Como ncdotd=0, a reta é paralela ao plano (ou está contida nele). Para decidir qual caso ocorre, basta verificar se algum ponto de r pertence a pi.

Passo 4

Tomamos, por exemplo, t=0 em r, que dá o ponto
P=(2,,0,,1)
Substituímos em pi:
4cdot2 ;-;2cdot0;+;3cdot1;+;5 =8 + 0 + 3 + 5 =16neq0
Logo Pnotinpi, o que mostra que r não está contida em pi.

Resposta

A reta r é paralela ao plano pi e não há ponto de interseção.

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