Questão 6: Dada a equação 4 \boldsymbol{x}^{2}+\boldsymbol{y}^{2}-\mathbf{1 6}=\mathbf{0}. Determine:
a) A medida dos semieixos e os vértices;
b) As coordenadas dos focos;
c) A excentricidade;
d) Gráfico da figura, contendo os itens acima. Devidamente identificados.

Passo 1

O enunciado dá a curva
4x^{2} + y^{2} -16 = 0
e pede (a) semieixos e vértices, (b) focos, (c) excentricidade e (d) o gráfico com tudo identificado.
Conteúdo: elipse centralizada na origem, e precisaremos pôr a equação em forma padrão.

Passo 2

Colocamos em forma padrão dividindo ambos os lados por 16:
\frac{4x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{16} = 1 \;\Longrightarrow\; \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{16} = 1.
Aqui vemos que a^{2} é o maior dos dois denominadores e vale 16, e b^{2}=4.

Passo 3

Os semieixos são
a = \sqrt{16} = 4, \quad b = \sqrt{4} = 2.
Os vértices da elipse ficam nos extremos dos semieixos:
– sobre o eixo y: (0,\pm a) = (0,\pm4).
– sobre o eixo x: (\pm b,0) = (\pm2,0).

Passo 4

O parâmetro c que dá a distância dos focos ao centro satisfaz
c^{2} = a^{2} - b^{2} = 16 - 4 = 12 \quad\Longrightarrow\quad c = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}.
Como o eixo maior é vertical, os focos são
(0,\pm c) = \bigl(0,\pm 2\sqrt{3}\bigr).

Passo 5

A excentricidade é
e = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}\approx0{,}866.

Passo 6

Para desenhar o gráfico:
– Trace os eixos x e y com origem em (0,0).
– Marque os vértices (0,4), (0,-4), (2,0) e (-2,0).
– Marque os focos \bigl(0,2\sqrt{3}\bigr) e \bigl(0,-2\sqrt{3}\bigr), isto é, aproximadamente (0,3{,}46) e (0,-3{,}46).
– Desenhe uma curva suave que passe pelos vértices e seja achatada no sentido horizontal, fechando em forma de elipse.
– Identifique cada ponto com sua coordenada e indique o semieixo maior ( a=4) e menor ( b=2).

Resposta

a) semieixos a=4 e b=2; vértices em (0,\pm4) e (\pm2,0).
b) focos em \bigl(0,\pm2\sqrt{3}\bigr).
c) excentricidade e=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0{,}866.
d) o gráfico é uma elipse centrada na origem com vértices e focos conforme acima, traçada ao longo dos eixos coordenados.

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