Questão 6: Dada a equação
. Determine:
a) A medida dos semieixos e os vértices;
b) As coordenadas dos focos;
c) A excentricidade;
d) Gráfico da figura, contendo os itens acima. Devidamente identificados.
a) A medida dos semieixos e os vértices;
b) As coordenadas dos focos;
c) A excentricidade;
d) Gráfico da figura, contendo os itens acima. Devidamente identificados.
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede (a) semieixos e vértices, (b) focos, (c) excentricidade e (d) o gráfico com tudo identificado.
Conteúdo: elipse centralizada na origem, e precisaremos pôr a equação em forma padrão.
Conteúdo: elipse centralizada na origem, e precisaremos pôr a equação em forma padrão.
Passo 2
Colocamos em forma padrão dividindo ambos os lados por 16:
Aqui vemos que
é o maior dos dois denominadores e vale
, e
.
Passo 3
Os semieixos são
Os vértices da elipse ficam nos extremos dos semieixos:
– sobre o eixo :
.
– sobre o eixo :
.
– sobre o eixo
– sobre o eixo
Passo 4
O parâmetro
que dá a distância dos focos ao centro satisfaz
Como o eixo maior é vertical, os focos são
Passo 5
A excentricidade é
Passo 6
Para desenhar o gráfico:
– Trace os eixos e
com origem em
.
– Marque os vértices ,
,
e
.
– Marque os focos e
, isto é, aproximadamente
e
.
– Desenhe uma curva suave que passe pelos vértices e seja achatada no sentido horizontal, fechando em forma de elipse.
– Identifique cada ponto com sua coordenada e indique o semieixo maior ( ) e menor (
).
– Trace os eixos
– Marque os vértices
– Marque os focos
– Desenhe uma curva suave que passe pelos vértices e seja achatada no sentido horizontal, fechando em forma de elipse.
– Identifique cada ponto com sua coordenada e indique o semieixo maior (
Resposta
a) semieixos
e
; vértices em
e
.
b) focos em .
c) excentricidade .
d) o gráfico é uma elipse centrada na origem com vértices e focos conforme acima, traçada ao longo dos eixos coordenados.
b) focos em
c) excentricidade
d) o gráfico é uma elipse centrada na origem com vértices e focos conforme acima, traçada ao longo dos eixos coordenados.