Determine a posição relativa da reta r e do plano π nos casos abaixo. Se r e π se intersectam em um único ponto, determine o ponto de interseção.
r:\left\{\begin{array}{l}y=4 x+1 \\\ z=2 x-1\end{array}\right. e π: 2 x+y-3 z-4=0

Passo 1

O enunciado pede a posição relativa entre a reta r e o plano \pi. O conteúdo é geometria analítica no espaço, e vamos precisar:
  • Parametrizar a reta r.
  • Substituir essa parametrização na equação de \pi.
  • Verificar se a substituição gera nenhuma solução (reta paralela), uma solução única (reta intersecta o plano num ponto) ou identidade (reta contida no plano).

Passo 2

Parametrizamos r tomando x=t. Então
r(t) = (x,y,z) = \bigl(t,\;4t+1,\;2t-1\bigr).

Passo 3

Substituímos r(t) na equação de \pi, que é 2x+y-3z-4=0. Temos
2t + (4t+1) -3(2t-1) -4 = 0.

Passo 4

Desenvolvendo a expressão:
2t +4t+1 -6t +3 -4 = (2+4-6)t + (1+3-4) = 0\cdot t +0 = 0.
Isso é uma identidade verdadeira para todo t.

Passo 5

Como a substituição deu 0=0 identicamente, não há restrição no parâmetro t. Isso significa que todos os pontos de r satisfazem a equação de \pi. Logo, a reta está contida no plano.

Resposta

A reta r está contida no plano \pi.

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