Obtenha a equação do plano que contém a reta de equação vetorial
\vec{r}(t)=(1,-2,3)+t(2,1,-1)
e é perpendicular ao vetor \vec{v}=(1,-1,0).

Passo 1

O enunciado pede a equação de um plano que contém a reta
\vec r(t) = (1,-2,3) + t\,(2,1,-1)
e é perpendicular ao vetor
\vec v = (1,-1,0).
Para um plano ser perpendicular a \vec v, \vec v deve ser normal ao plano.

Passo 2

A reta contida no plano tem vetor diretor
\vec d = (2,1,-1).
Se \vec v é normal ao plano, \vec v deve ser ortogonal a todo vetor do plano, em particular a \vec d. Calculamos
\vec v \cdot \vec d = (1)\cdot (2) + (-1)\cdot(1) + (0)\cdot(-1) = 2 - 1 + 0 = 1.

Passo 3

Como \vec v \cdot \vec d = 1 \neq 0, \vec v não é ortogonal a \vec d. Logo não existe nenhum plano cuja normal seja \vec v e que, ao mesmo tempo, contenha a reta de direção \vec d.

Resposta

Não existe plano que contenha a reta dada e seja perpendicular ao vetor \vec v.

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