Determine a posição relativa dos planos abaixo, sua interseção e ângulo :
e
Passo 1
O enunciado dá duas equações de planos em
e pede: determinar a posição relativa entre eles, descrever a interseção e calcular o ângulo entre os planos. As informações dadas são:
- Primeiro plano:
. - Segundo plano:
.
As perguntas que preciso responder são:
- Qual a posição relativa dos planos (são paralelos distintos, coincidentes ou oblíquos que se intersectam numa reta)?
- Qual é a interseção entre eles (ponto, reta, plano inteiro, vazio)?
- Qual é o ângulo entre os dois planos?
Passo 2
Colocar a segunda equação em forma padrão (todas as incógnitas no mesmo lado). A equação dada é
. Passando todos os termos para o mesmo lado:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Agora ambas as equações estão escritas de forma comparável:
Passo 3
Explicar a ideia dos vetores normais e como eles determinam a posição relativa dos planos.
- Para um plano na forma
, o vetor normal é . Esse vetor é perpendicular ao plano. - Dois planos são paralelos se seus vetores normais são proporcionais (isto é, um é múltiplo escalar do outro).
- Se além disso os termos constantes
também estão na mesma proporção, então os planos coincidem (são exatamente o mesmo conjunto de pontos). - Se os vetores normais não são proporcionais, os planos se intersectam ao longo de uma reta.
Aplicando isso aqui: os vetores normais são
pois após simplificar a segunda equação obtemos os mesmos coeficientes. Como
(são exatamente iguais, logo proporcionais) verifica-se que os planos são paralelos — agora precisamos ver se são o mesmo plano ou planos paralelos distintos.
Passo 4
Verificar a relação entre os termos constantes. As duas equações simplificadas são idênticas:
Os coeficientes
e os termos constantes
coincidem exatamente. Pela regra explicada no passo anterior, isso significa que os dois planos são coincidentes: representam exatamente o mesmo conjunto de pontos em
.
Passo 5
Descrever a interseção. Se dois planos coincidem, a interseção é o próprio plano (ou seja, infinitos pontos formando um plano). Para ser concreto, apresentar uma parametrização do plano comum. A equação do plano é
Escolhendo parâmetros
e
para
e
, por exemplo
,
, obtemos
Assim uma parametrização do plano é
o que mostra explicitamente que a interseção contém infinitos pontos (é o próprio plano).
Passo 6
Calcular o ângulo entre os planos usando a relação com seus vetores normais. Lembrete didático rápido:
- O ângulo
entre dois planos é o mesmo que o ângulo entre seus vetores normais e . - A fórmula é
onde
é o produto escalar e
norma euclidiana.
Aqui
e
. Então
Portanto
o que implica
. Em palavras: os planos têm a mesma orientação, portanto o ângulo entre eles é zero (são coincidentes).
Passo 7
Resumo final, reforçando a conclusão de forma direta e encorajadora: ambos os planos representam exatamente a mesma equação, logo coincidem; a interseção é o próprio plano (infinitos pontos), e o ângulo entre eles é
.
Resposta
Os planos coincidem (são o mesmo plano).
A interseção é o próprio plano dado por , que pode ser parametrizado por
,
.
O ângulo entre os planos é .
A interseção é o próprio plano dado por
O ângulo entre os planos é