Determine a posição relativa dos planos abaixo, sua interseção e ângulo :
x+2 y+3 z=1 e 2 x+4 y=2-6 z

Passo 1

O enunciado dá duas equações de planos em \mathbb{R}^3 e pede: determinar a posição relativa entre eles, descrever a interseção e calcular o ângulo entre os planos. As informações dadas são:
  • Primeiro plano: x+2y+3z=1.
  • Segundo plano: 2x+4y=2-6z.
As perguntas que preciso responder são:
  1. Qual a posição relativa dos planos (são paralelos distintos, coincidentes ou oblíquos que se intersectam numa reta)?
  2. Qual é a interseção entre eles (ponto, reta, plano inteiro, vazio)?
  3. Qual é o ângulo entre os dois planos?

Passo 2

Colocar a segunda equação em forma padrão (todas as incógnitas no mesmo lado). A equação dada é 2x+4y=2-6z. Passando todos os termos para o mesmo lado:
2x+4y+6z=2.
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:
x+2y+3z=1.
Agora ambas as equações estão escritas de forma comparável:
\text{Plano 1: }x+2y+3z=1, \qquad \text{Plano 2: }x+2y+3z=1.

Passo 3

Explicar a ideia dos vetores normais e como eles determinam a posição relativa dos planos.
  • Para um plano na forma ax+by+cz=d, o vetor normal é \mathbf{n}=(a,b,c). Esse vetor é perpendicular ao plano.
  • Dois planos são paralelos se seus vetores normais são proporcionais (isto é, um é múltiplo escalar do outro).
  • Se além disso os termos constantes d também estão na mesma proporção, então os planos coincidem (são exatamente o mesmo conjunto de pontos).
  • Se os vetores normais não são proporcionais, os planos se intersectam ao longo de uma reta.
Aplicando isso aqui: os vetores normais são
\mathbf{n}_1=(1,2,3) \qquad\text{e}\qquad \mathbf{n}_2=(1,2,3),
pois após simplificar a segunda equação obtemos os mesmos coeficientes. Como \mathbf{n}_2=\mathbf{n}_1 (são exatamente iguais, logo proporcionais) verifica-se que os planos são paralelos — agora precisamos ver se são o mesmo plano ou planos paralelos distintos.

Passo 4

Verificar a relação entre os termos constantes. As duas equações simplificadas são idênticas:
x+2y+3z=1 \quad\text{e}\quad x+2y+3z=1.
Os coeficientes (a,b,c) e os termos constantes d coincidem exatamente. Pela regra explicada no passo anterior, isso significa que os dois planos são coincidentes: representam exatamente o mesmo conjunto de pontos em \mathbb{R}^3.

Passo 5

Descrever a interseção. Se dois planos coincidem, a interseção é o próprio plano (ou seja, infinitos pontos formando um plano). Para ser concreto, apresentar uma parametrização do plano comum. A equação do plano é
x+2y+3z=1.
Escolhendo parâmetros s e t para y e z, por exemplo y=s, z=t, obtemos
x=1-2s-3t.
Assim uma parametrização do plano é
(x,y,z)=(1-2s-3t,\;s,\;t),\qquad s,t\in\mathbb{R},
o que mostra explicitamente que a interseção contém infinitos pontos (é o próprio plano).

Passo 6

Calcular o ângulo entre os planos usando a relação com seus vetores normais. Lembrete didático rápido:
  • O ângulo \theta entre dois planos é o mesmo que o ângulo entre seus vetores normais \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2.
  • A fórmula é
\cos\theta=\frac{\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2}{\|\mathbf{n}_1\|\,\|\mathbf{n}_2\|},
onde \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2 é o produto escalar e \|\cdot\| norma euclidiana.
Aqui \mathbf{n}_1=(1,2,3) e \mathbf{n}_2=(1,2,3). Então
\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2=1\cdot1+2\cdot2+3\cdot3=1+4+9=14,
\|\mathbf{n}_1\|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}, \qquad \|\mathbf{n}_2\|=\sqrt{14}.
Portanto
\cos\theta=\frac{14}{\sqrt{14}\sqrt{14}}=\frac{14}{14}=1,
o que implica \theta=0. Em palavras: os planos têm a mesma orientação, portanto o ângulo entre eles é zero (são coincidentes).

Passo 7

Resumo final, reforçando a conclusão de forma direta e encorajadora: ambos os planos representam exatamente a mesma equação, logo coincidem; a interseção é o próprio plano (infinitos pontos), e o ângulo entre eles é \,0.

Resposta

Os planos coincidem (são o mesmo plano).
A interseção é o próprio plano dado por x+2y+3z=1, que pode ser parametrizado por (x,y,z)=(1-2s-3t,\;s,\;t), s,t\in\mathbb{R}.
O ângulo entre os planos é \theta=0.

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