Determine a posição relativa dos planos abaixo, e sua interseção, se houver:
x+2 y+3 z=1 e 2 x+4 y=2-6 z (R.: Coincidentes )

Passo 1

O enunciado pede para determinar a posição relativa dos planos
alpha: x + 2y + 3z = 1 e beta: 2x + 4y = 2 - 6z.
O conteúdo aqui é posição relativa de planos em R^3, que se baseia em comparar os vetores normais de cada plano.

Passo 2

Primeiro, colocamos beta em forma geral, reunindo todos os termos num só lado:
2x + 4y + 6z = 2

Passo 3

Extraímos os vetores normais de cada plano:
nalpha = (1,2,3), nbeta = (2,4,6)
Como nbeta = 2,nalpha, os planos são paralelos ou coincidentes (vetores normais colineares indicam isso).

Passo 4

Para decidir entre paralelos distintos e coincidentes, vemos se as constantes seguem a mesma proporção. Multiplicando a equação de alpha por 2 obtemos
2x + 4y + 6z = 2,
que é exatamente a equação de beta. Logo, não se trata de dois planos distintos, mas do mesmo plano descrito de duas maneiras.

Resposta

Os planos são coincidentes.
A interseção é o próprio plano
x + 2y + 3z = 1,
isto é, há infinitos pontos comuns definidos por essa equação.

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