Escreva a equação do plano que passa pelo ponto M=(1,2,3) e é perpendicular aos planos 2 x-y+3 z=0 e x+2 y+z-1=0. (R.: pi:cx=1+2 a+b y=2-2 a+2 b, z=3+3 a+b -7 x+y+5 z-14=0)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano pi que passa pelo ponto M=(1,2,3) e é perpendicular aos planos
2x - y + 3z = 0
e
x + 2y + z - 1 = 0
O conteúdo aqui é Geometria Analítica no espaço e vamos usar o fato de que um plano perpendicular a outro contém a normal deste plano como vetor-direção.

Passo 2

Extraímos as normais dos dois planos dados:
n1 = (2,,-1,,3), n2 = (1,,2,,1)

Passo 3

Como
onde (a,b\in\mathbb{R}].

Passo 4

Para obter a forma implícita, calculamos a normal de pi como produto vetorial
n ;=;n1 times n2 ;=; i & j & k 2 & -1 & 3 1 & 2 & 1 ;=;(-7,,1,,5)

Passo 5

Usamos ncdotl((x,y,z)-Mr)=0. Com M=(1,2,3) e n=(-7,1,5) segue
-7(x-1)+1(y-2)+5(z-3)=0 ;Longrightarrow; -7x+y+5z-10=0

Resposta

Paramétrica:
pi: x = 1 + 2a + b, y = 2 - a + 2b, z = 3 + 3a + b, a,binR
Implícita:
-7x + y + 5z - 10 = 0

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