Determine a posição relativa dos planos abaixo, e sua interseção, se houver:
2 x-2 y+6 z=6 e x=-3 p-q, y=-q, z=p (R.: Paralelos)

Passo 1

O enunciado dá dois planos em R^3:
– O plano P1 pela equação
2x-2y+6z=6
– O plano P2 em forma paramétrica
x=-3p-q, y=-q, z=p
O conteúdo é posição relativa de planos: vamos achar o vetor normal de P2 e comparar com o de P1.

Passo 2

A representação paramétrica indica dois vetores diretores de P2. Para p variando com q fixo, temos
v1=lang<= -3,0,1rang<=,
e para q variando com p fixo,
v2=lang<= -1,-1,0rang<=

Passo 3

O vetor normal de P2 é
n=v1times v2 = i&j&k -3&0&1 -1&-1&0 =(1,-1,3)
Logo a equação cartesiana de P2 é
1cdot x+(-1)cdot y+3cdot z=0,
ou seja
x - y + 3z = 0

Passo 4

O vetor normal de P1 é lang<=2,-2,6rang<=, que é exatamente 2(1,-1,3). Logo P1 e P2 têm normais proporcionais, ou seja, são paralelos. Como a constante em P1 é 6 e em P2 é 0, eles são distintos e não se intersectam.

Resposta

Os planos são paralelos (sem interseção).

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