Determine a posição relativa dos planos abaixo, e sua interseção, se houver:
e
(R.: Concorrentes e perpendiculares,
Passo 1
O enunciado pede para descobrir a posição relativa dos planos
P1:;2x+y-z-1=0
e
P2:;3x-5y+z=4,
ou seja, se são paralelos, coincidentes ou concorrentes, e no caso de concorrência, encontrar a reta de interseção. O conteúdo aqui é geometria analítica de planos em R^3: usamos vetores normais para classificar a posição relativa e depois resolvemos o sistema para obter a reta.
Passo 2
Extraímos os vetores normais de cada plano:
n1=(2,,1,,-1), n2=(3,,-5,,1)
Dois planos são paralelos (ou coincidentes) se seus normais são múltiplos escalares; se não, eles se intersectam em uma reta.
Passo 3
Verificamos se n1 e n2 são proporcionais:
23neq1-5neq-11,
logo não são múltiplos, ou seja, os planos não são paralelos. Portanto eles se intersectam numa reta.
Passo 4
Para ver se são perpendiculares, calculamos o produto escalar
n1cdotn2 =2cdot3+1cdot(-5)+(-1)cdot1 =6-5-1=0
Como deu zero, concluímos que os planos são perpendiculares e, sendo não paralelos, são concorrentes numa reta.
Passo 5
Para encontrar a reta de interseção, resolvemos o sistema
2x+y-z=1, 3x-5y+z=4
Escolhemos x=t como parâmetro. Somando as duas equações, obtemos