Determine a posição relativa dos planos abaixo, e sua interseção, se houver:
2 x+y-z-1=0
e 3 x-5 y+z=4
(R.: Concorrentes e perpendiculares, r:cx=t y=-54+54 t,) z=-94+134 t

Passo 1

O enunciado pede para descobrir a posição relativa dos planos
P1:;2x+y-z-1=0
e
P2:;3x-5y+z=4,
ou seja, se são paralelos, coincidentes ou concorrentes, e no caso de concorrência, encontrar a reta de interseção. O conteúdo aqui é geometria analítica de planos em R^3: usamos vetores normais para classificar a posição relativa e depois resolvemos o sistema para obter a reta.

Passo 2

Extraímos os vetores normais de cada plano:
n1=(2,,1,,-1), n2=(3,,-5,,1)
Dois planos são paralelos (ou coincidentes) se seus normais são múltiplos escalares; se não, eles se intersectam em uma reta.

Passo 3

Verificamos se n1 e n2 são proporcionais:
23neq1-5neq-11,
logo não são múltiplos, ou seja, os planos não são paralelos. Portanto eles se intersectam numa reta.

Passo 4

Para ver se são perpendiculares, calculamos o produto escalar
n1cdotn2 =2cdot3+1cdot(-5)+(-1)cdot1 =6-5-1=0
Como deu zero, concluímos que os planos são perpendiculares e, sendo não paralelos, são concorrentes numa reta.

Passo 5

Para encontrar a reta de interseção, resolvemos o sistema
2x+y-z=1, 3x-5y+z=4
Escolhemos x=t como parâmetro. Somando as duas equações, obtemos
5x-4y=5 Longrightarrow 5t-4y=5 Longrightarrow y=5t-54 =-54+54t
Substituindo em 2x+y-z=1:
2t+l(-54+54tr)-z=1 Longrightarrow z=134t-94
Assim a reta r é dada por
r: x=t, y=-tfrac54+tfrac54t, z=-tfrac94+tfrac134t, tinR

Resposta

Os planos são concorrentes e perpendiculares, e sua reta de interseção é
r:; x=t, y=-dfrac54+dfrac54t, z=-dfrac94+dfrac134t

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