Determine a posição relativa dos planos abaixo, e sua interseção, se houver:
3 x-y+2 z-1=0 e x+2 y-3 z=4 (R.: Concorrentes e não perpendiculares, r:cx=t y=11-11 t, z=6-7 t

Passo 1

O enunciado dá dois planos
pi1:3x - y + 2z - 1 = 0
pi2:x + 2y - 3z - 4 = 0
e pede a posição relativa (se são paralelos, coincidentes ou concorrentes, e se são perpendiculares) e, em caso de interseção, a reta de interseção. Vamos usar vetores normais para comparar planos e resolver o sistema para encontrar a reta.

Passo 2

Os vetores normais são
n1 = (3,,-1,,2), n2 = (1,,2,,-3)
Como n1 não é múltiplo de n2, os planos não são paralelos, logo são concorrentes. O produto escalar
n1cdot n2 = 3cdot1 + (-1)cdot2 + 2cdot(-3) = 3 - 2 - 6 = -5 neq 0,
logo não são perpendiculares.

Passo 3

Para achar a reta de interseção, resolvemos o sistema
3x - y + 2z = 1, x + 2y - 3z = 4
Tomamos x = t como parâmetro. Da primeira equação vem
y = 3t + 2z - 1
Substituindo na segunda:
t + 2(3t + 2z - 1) - 3z = 4 ;Longrightarrow; 7t + z - 2 = 4 ;Longrightarrow; z = 6 - 7t
Então
y = 3t + 2(6-7t) - 1 = 11 - 11t

Passo 4

A reta de interseção fica, em forma paramétrica:
r: x = t, y = 11 - 11t, z = 6 - 7t

Resposta

Os planos são concorrentes e não perpendiculares.
A reta de interseção é
r: x = t, y = 11 - 11t, z = 6 - 7t

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