Determine a posição relativa entre as retas e os planos abaixo e sua interseção, se houver:
r1:cx=-8+15 t y=5-9 t e pi: 3 x+5 y-1=0 (R: r subset pi ) z=0

Passo 1

O enunciado dá a reta
r1: x=-8+15t, y=5-9t, z=0,
e o plano
pi:3x+5y-1=0
Queremos classificar a posição relativa entre r1 e pi e, se houver, descrever sua interseção. Para isso, usaremos o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano, verificando a ortogonalidade e se um ponto da reta satisfaz a equação do plano.

Passo 2

Identificamos o vetor diretor de r1 e o vetor normal de pi:
vec v = (15,,-9,,0), vec n = (3,,5,,0)

Passo 3

Calculamos o produto escalar vec vcdotvec n:
vec vcdotvec n = 15cdot3 + (-9)cdot5 + 0cdot0 = 45 - 45 + 0 = 0
Como o produto escalar é zero, vec v é ortogonal a vec n, o que significa que r1 é paralela ao plano pi.

Passo 4

Para decidir se r1 está contida em pi ou apenas paralela sem interseção, verificamos se um ponto de r1 satisfaz a equação de pi. Tomamos t=0, que dá P0=(-8,5,0). Substituindo em pi:
3(-8) + 5(5) - 1 = -24 + 25 - 1 = 0
O ponto P0 pertence a pi.

Passo 5

Como a reta é paralela ao plano e possui um ponto em comum, ela está totalmente contida em pi. Logo,
r1subsetpi

Resposta

A reta r1 está contida no plano pi e, portanto, sua interseção é a própria reta r1.

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