Escreva a equação do plano que passa pelos pontos
M=(1,-1,-2) e
N=(3,1,1) e é perpendicular ao plano x-y+3 z-5=0. (R.: pi:lx=1+2 a+b y=-1+2 a-b, 9 x-3 y-4 z-20=0) z=-2+3 a+3 b

Passo 1

O enunciado pede o plano que passa pelos pontos M=(1,-1,-2) e N=(3,1,1) e que é perpendicular ao plano dado
x - y + 3z - 5 = 0
Conteúdo: vetores diretores de plano, produto vetorial e equação de plano em formas cartesiana e paramétrica.

Passo 2

Determine dois vetores que pertencem ao plano procurado:
  1. O vetor que une M a N:
MN = N - M = (3-1,;1-(-1),;1-(-2)) = (2,,2,,3)
  1. O vetor normal n1 do plano dado, que será também um vetor diretor do plano buscado (pois ele é perpendicular ao plano dado):
n1 = (1,,-1,,3)

Passo 3

O plano desejado contém MN e n1, logo seu vetor normal n é o produto vetorial
n ;=;MNtimes n1 ;=;(2,2,3)times(1,-1,3)
Em cálculo rápido:
(2,2,3)times(1,-1,3) ;=;(9,,-3,,-4)

Passo 4

Use n=(9,-3,-4) e o ponto M=(1,-1,-2) na forma cartesiana
9l(x-1r);-;3l(y+1r);-;4l(z+2r)=0
Expandindo:
9x-9 ;-;3y-3 ;-;4z-8 = 0 Longrightarrow 9x - 3y - 4z - 20 = 0

Passo 5

Para a forma paramétrica, partimos de M e usamos os vetores diretores MN e n1:
(x,y,z) =(1,-1,-2)+a,(2,2,3)+b,(1,-1,3), a,binR,
ou seja
x = 1 + 2a + b, y = -1 + 2a - b, z = -2 + 3a + 3b

Resposta

Forma paramétrica:
x = 1 + 2a + b, y = -1 + 2a - b, z = -2 + 3a + 3b, a,binR
Equação cartesiana:
9x ;-;3y ;-;4z ;-;20 = 0

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