Determine a reta de interseção dos planos \alpha: 2 x+3 y+z=1 e \beta: x-2 y+3 z= 0 , escrevendo suas equações paramétricas.

Passo 1

O enunciado pede a reta de interseção entre os planos \alpha:2x+3y+z=1 e \beta:x-2y+3z=0.
Conteúdo: interseção de dois planos no espaço. Vamos precisar de dois ingredientes principais:
  • um vetor diretor da reta, dado pelo produto vetorial dos vetores normais dos planos;
  • um ponto qualquer que satisfaça simultaneamente as duas equações.

Passo 2

Os vetores normais são \mathbf{n}_\alpha=(2,3,1) e \mathbf{n}_\beta=(1,-2,3).
O vetor diretor \mathbf{v} da reta é
\mathbf{v} \;=\;\mathbf{n}_\alpha\times\mathbf{n}_\beta =(2,3,1)\times(1,-2,3) =(3\cdot3-1\cdot(-2),\;1\cdot1-2\cdot3,\;2\cdot(-2)-3\cdot1) =(11,\,-5,\,-7).

Passo 3

Para achar um ponto da interseção, fazemos z=t e resolvemos \beta: x-2y+3t=0\implies x=2y-3t, \alpha:2x+3y+t=1.
Substituindo x=2y-3t em \alpha:
2(2y-3t)+3y+t=1 \quad\longrightarrow\quad 4y-6t+3y+t=1 \quad\longrightarrow\quad 7y-5t=1 \quad\longrightarrow\quad y=\frac{1+5t}{7}.
Então
x=2\Bigl(\frac{1+5t}{7}\Bigr)-3t =\frac{2+10t}{7}-\frac{21t}{7} =\frac{2-11t}{7}.

Passo 4

Portanto uma parametrização da reta é
x(t)=\frac{2-11t}{7},\quad y(t)=\frac{1+5t}{7},\quad z(t)=t,
com vetor diretor (11,-5,-7).

Resposta

A reta de interseção tem equações paramétricas
x=\frac{2-11t}{7},\quad y=\frac{1+5t}{7},\quad z=t.

Exercícios relacionados