Determine a posição relativa entre as retas: r:\left\{\begin{array}{ll}x & =1+2 k \\\ y & =2+k \\\ z & =3-3 k\end{array}, k \in \mathbb{R}\right. e s: X=(3,3,0)+\lambda(-4,-2,6), \lambda \in \mathbb{R}
Escolha uma opção:
O a. Reversas
O b. Paralelas Distintas
O c. Somente Concorrentes
o d. Coincidentes
e. Perpendiculares
Passo 1
O enunciado pede para determinar a posição relativa entre as retas
r:\begin{cases} x = 1 + 2k\\\ y = 2 + k\\\ z = 3 - 3k \end{cases},\\ k\in\mathbb{R}
e
s: X = (3,3,0) + \lambda(-4,-2,6),\\ \lambda\in\mathbb{R}.
O conteúdo aqui é geometria analítica em \mathbb{R}^3: vamos extrair os vetores diretores de cada reta para checar se são paralelos e, em caso afirmativo, verificar se elas se coincidem ou são distintas.
Passo 2
Da reta r vemos que seu vetor diretor é
v_r = (2,1,-3),
e da reta s o vetor diretor é
v_s = (-4,-2,6).
Note que
v_s = -2\,(2,1,-3) = -2\,v_r,
logo v_s é múltiplo escalar de v_r. Isso mostra que r e s são paralelas (ou coincidentes).
Passo 3
Para decidir entre “paralelas distintas” e “coincidentes”, basta ver se um ponto de s pertence a r. Pegamos o ponto B=(3,3,0) de s e tentamos achar k tal que
1 + 2k = 3,\quad 2 + k = 3,\quad 3 - 3k = 0.
Da primeira equação 2k=2\Rightarrow k=1. Substituindo em y e z obtemos 2+1=3 e 3-3\cdot1=0, que conferem. Logo B\in r, de modo que r e s coincidem.